Cho các số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(a > \dfrac{1}{5},\,\,b > 1\). Giá trị nhỏ nhất của

Câu hỏi số 497914:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(a > \dfrac{1}{5},\,\,b > 1\). Giá trị nhỏ nhất của \({\log _{5a}}b + {\log _b}\left( {{a^4} - 25{a^2} + 625} \right)\) bằng:

A. \(2\sqrt 3 \)

B. \(\sqrt 3 \)

C. \(\sqrt 2 \)

D. \(2\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:497914

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {{a^2} - 25} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^4} - 50{a^2} + 625 \ge 0\) \( \Leftrightarrow {a^4} - 25{a^2} + 625 \ge 25{a^2}\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{\log _{5a}}b + {\log _b}\left( {{a^4} - 25{a^2} + 625} \right)\\ \ge {\log _{5a}}b + {\log _b}\left( {25{a^2}} \right)\\ = {\log _{5a}}b + \dfrac{2}{{{{\log }_{5a}}b}}\\ \ge 2\sqrt {{{\log }_{5a}}b.\dfrac{2}{{{{\log }_{5a}}b}}} = 2\sqrt 2 \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\\log _{5a}^2b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\\log _{25}^2b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\{\log _{25}}b = \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = {25^{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \({\log _{5a}}b + {\log _b}\left( {{a^4} - 25{a^2} + 625} \right)\) bằng \(2\sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.