Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: D1: Và D2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) : 3y – z – 7 = 0, (Q): 3x + 3y – 2z -17 = 0. Cho A, B chạy trên D1; C, D chạy trên D2 sao cho AB = 5cm, CD = 7cm. Tính thể tích của tứ diện ABCD.

Câu hỏi số 4984:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: D₁: $\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=-1+t\\z=2-t\end{matrix}\right.$ Và D₂ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) : 3y – z – 7 = 0, (Q): 3x + 3y – 2z -17 = 0. Cho A, B chạy trên D₁; C, D chạy trên D₂ sao cho AB = 5cm, CD = 7cm. Tính thể tích của tứ diện ABCD.

A. VABCD = $\frac{250}{3\sqrt{66}}$

B. VABCD = $\frac{260}{3\sqrt{66}}$

C. VABCD = $\frac{280}{3\sqrt{66}}$

D. VABCD = $\frac{270}{3\sqrt{66}}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:4984

Giải chi tiết

Trước hết D₁ là đường thẳng qua M₁(1; -1; 2) và có một vectơ chỉ phương là:

$\overrightarrow{u_{1}}$ = (2; 1; -1) => d₁: $\left\{\begin{matrix}M_{1}(1;-1;2)\\\overrightarrow{u_{1}}=(2;1;-1)\end{matrix}\right.$

D₂ là giao tuyến của (P) và (Q) nên ta chon một vectơ chỉ phương cho D₂ là: k.[ $\overrightarrow{n_{(P)}}$ , $\overrightarrow{n_{(Q)}}$ ], $\overrightarrow{n_{(P)}}$ = (0; 3 ; -1); $\overrightarrow{n_{(Q)}}$ = (3;3;-2)

=> [ $\overrightarrow{n_{(P)}}$ , $\overrightarrow{n_{(Q)}}$ ] = (-3; -3 ; -9)

Ngoài ra ta chon một điểm M₂ thuôc d₂ thỏa mãn hệ : $\left\{\begin{matrix}3y-z-7=0\\3x+3y-2z-17=0\end{matrix}\right.$ =>M₂(1;0;-7)

Chọn vectơ chỉ phương cho D₂ là:

$\overrightarrow{u_{2}}$ = $\frac{-1}{3}$ [ $\overrightarrow{n_{(P)}}$ , $\overrightarrow{n_{(Q)}}$ ] = ( 1;1;3) => D₂ : $\left\{\begin{matrix}M_{2}(1;0;-7)\\\overrightarrow{u_{2}}=(1;1;3)\end{matrix}\right.$

Để tính thể tích của ABCD trước hết ta nhận xét như sau:

V_ABCD = $\frac{1}{6}$ AB.CD.d( AB, CD).sin( $\widehat{AB,CD}$ )

Mọi tứ diện ABCD đều có thể tích tính theo công thức được xây dựng như sau: Ta kẻ qua C đường thẳng song song với AB lấy trên đó điểm A₁ sao cho AA₁CB là hình bình hành ( để có CA₁ // = AB; BC//=AA₁).

BC//= AA₁ => AA₁ //(BCD)=>d(A,(BCD)) = d(A₁,(BCD))

=> V_ABCD = $\frac{1}{3}$ S_∆ABC.d A,(BCD))

= $\frac{1}{3}$ S_∆BCD. d(A₁,(BCD)) = V_A1.BCD = V_B.A1CD

= $\frac{1}{3}$ S_∆A1CD .d(B,(A₁CD))

S_∆ACD = $\frac{1}{2}$ A₁C.Cdsin = $\frac{1}{2}$ AB.CDsin(AB,CD)

Do AB = A₁C; (A₁C,CD) = (AB,CD) AB, CD là hai đường thẳng chéo nhau.

CA₁ //= AB => AB//=(CDA)

=>d(AB,(A’CD)) = d(AB,CD) = d(B,(A’CD))

=> V_ABCD = V_B.A1CD= V_A1.BCD = $\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{2}$ AB.CDsin(AB,CD). d(AB,CD)

=> V_ABCD= $\frac{1}{6}$ AB.CDsin(AB,CD). d(AB,CD) (*)

Áp dụng (*) cho bài tập đang xét với AB =5cm; CD = 7cm và chú ý rằng:

cos(AB,CD)= cos(D₁, D₂) = |cos( $\overrightarrow{u_{1}}$ , $\overrightarrow{u_{2}}$ )|

= $\frac{|\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}|}}{|\overrightarrow{u_{1}|}|\overrightarrow{u_{2}|}}$ . $\frac{|2.1+1.1+3.(-1)}{\sqrt{2^{2}+1^{1}+1^{2}}\sqrt{3^{2}+1^{2}+1^{1}}}$ = 0

cos(AB,CD)= 0 => sin(AB,CD) = 1

d(AB,CD) = d(D₁, D₂) = $\frac{|[\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}}].\overrightarrow{M_{1}M_{2}}|}{|[\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}}]|}$ = $\frac{16}{\sqrt{66}}$

V_{ABCD = .5.7.1. = .}

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.