Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( x { - 1} \right)\left( {m - x - 3} \right)\). Có bao nhiêu số nguyên âm \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2}} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)?

Câu 498850: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( x { - 1} \right)\left( {m - x - 3} \right)\). Có bao nhiêu số nguyên âm \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2}} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)?

A. \(0\)

B. \(5\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Câu hỏi : 498850

Quảng cáo

Đáp án : A
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
* \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = 2x.f'\left( {{x^2}} \right)\)

Ta có \(f'\left( x \right) = {x^2}.\left( {x - 1} \right).\left( {m - {x^2} - 3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow g'\left( x \right) = 2x.f'\left( {{x^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2x.{\left( {{x^2}} \right)^2}.\left( {{x^2} - 1} \right).\left( {m - {x^2} - 3} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{x^5}.\left( {{x^2} - 1} \right).\left( {m - {x^2} - 3} \right)\end{array}\)

* Để hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow 2{x^5}.\left( {{x^2} - 1} \right).\left( {m - {x^2} - 3} \right) \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

Nhận xét: Khi \(x > 1 \Rightarrow 2{x^5}.\left( {{x^2} - 1} \right) > 0\)

\( \Rightarrow BPT \Leftrightarrow m - {x^2} - 3 \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow m \ge {x^2} + 3\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\).

Đặt \(h\left( x \right) = {x^2} + 3\) với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow m \ge h\left( x \right)\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{x \in \left( {1; + \infty } \right)} \,h\left( x \right)\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{x \in \left( {1; + \infty } \right)} \,h\left( x \right) = + \infty \,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) (có nghĩa là không tồn tại \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left( {1; + \infty } \right)} \,h\left( x \right)\)).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow \) không tồn tại giá trị của \(m\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.