Hoàn thành bài sau:

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các số nguyên tố \(p\) sao cho \(2{p^2} + 3p + 4\) cũng là số nguyên tố.

Xem lời giải

Câu hỏi:502715

Phương pháp giải

Thử trực tiếp, dự đoán được \(p = 3\) là số duy nhất thỏa mãn, từ đó ta lập luận với \(p \ne 3\) thì \(2{p^2} + 3p + 4\) không là số nguyên tố

Giải chi tiết

Nếu \(p \vdots 3 \Rightarrow p = 3\) thì \(2{p^2} + 3p + 4 = 31\) là số nguyên tố suy ra \(p = 3\) thỏa mãn.

Nếu \(p = 3k + 1,k \in \mathbb{N}\) thì \(2{p^2} + 3p + 4 = 2{\left( {3k + 1} \right)^2} + 3\left( {3k + 1} \right) + 4 = 18{k^2} + 21k + 9 \vdots 3\), kết hợp với \(2{p^2} + 3p + 4 > 3\) suy ra \(2{p^2} + 3p + 4\) không là số nguyên tố.

Nếu \(p = 3k + 2,k \in \mathbb{N}\) thì \(2{p^2} + 3p + 4 = 2{\left( {3k + 2} \right)^2} + 3\left( {3k + 2} \right) + 4 = 18{k^2} + 33k + 18 \vdots 3\), kết hợp với \(2{p^2} + 3p + 4 > 3\) suy ra \(2{p^2} + 3p + 4\) không là số nguyên tố.

Câu hỏi số 2:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các số nguyên dương \(a,b,c,d\) thỏa mãn \(a! + b! + c! = d!\). Cho biết kí hiệu \(n!\) là tích các số tự nhiên từ \(1\) đến \(n\).

Xem lời giải

Câu hỏi:502716

Phương pháp giải

Sắp xếp thứ tự cho \(a,b,c,d\) và biện luận

Giải chi tiết

Giả sử \(a \le b \le c\), kết hợp với giả thiết ta được \(1 \le a \le b \le c < d\).

Nếu \(a < b \Rightarrow a! + a!\left( {a + 1} \right)...b + a!\left( {a + 1} \right)...c = a!\left( {a + 1} \right)...d\)

\( \Rightarrow 1 + \left( {a + 1} \right)...b + \left( {a + 1} \right)...c = \left( {a + 1} \right)...d \Rightarrow 1 \vdots a + 1\) vô lí.

Nếu \(a = b\) thì \(2a! + c! = d!\)

Nếu \(a = b < c\) thì từ phương trình trên ta được:

\(2a! + a!\left( {a + 1} \right)...c = a!\left( {a + 1} \right)...d\)\( \Leftrightarrow 2 + \left( {a + 1} \right)...c = \left( {a + 1} \right)...d\)

Từ phương trình này ta được: \(2 \vdots a + 1 \Rightarrow a = 1\)

Với \(a = 1 \Rightarrow b = 1\), ta được phương trình \(2 + c! = d!\)

+ Nếu \(c > 2 \Rightarrow c! \vdots 3,d! \vdots 3 \Rightarrow 2 \vdots 3\) vô lí.

+ Nếu \(c = 2 \Rightarrow 4 = d!\) vô lí.

Nếu \(a = b = c\) thì từ phương trình đã cho ta được:

\(3.a! = d! \Rightarrow 3 = \left( {a + 1} \right)...d \Rightarrow 3 \vdots a + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\d = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( {a,b,c,d} \right) = \left( {2,2,2,3} \right).\)

Quảng cáo

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link