Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB \ne AC} \right),\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Kẻ đường
Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB \ne AC} \right),\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Kẻ đường phân giác \(AD\left( {D \in BC} \right)\) của tam giác đó. Lấy điểm \(E\) đối xứng với \(D\) qua trung điểm của đoạn \(BC.\) Đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(D\) cắt \(AO\) tại \(H,\)đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(E\) cắt \(AD\) ở \(K\). Chứng minh rằng tứ giác \(BHCK\)nội tiếp.
Quảng cáo
Sử dụng bài toán phương tích, ta chứng minh các tứ giác \(AHLI,BHCI\) nội tiếp, suy ra tứ giác \(BHCK\)là tứ giác nội tiếp (trong đó \(L\) là điểm chính giữa cung nhỏ \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right)\), \(I\) là điểm đối xứng với \(E\) qua \(L\))
Gọi \(L\) là điểm chính giữa cung nhỏ \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right)\)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), thế thì \(O,L,M\) thẳng hàng .
Có \(ML\,{\rm{// }}EK\) và \(M\) là trung điểm \(DE\) nên \(L\) là trung điểm \(DK.\)
Gọi \(I\) là điểm đối xứng với \(E\) qua \(L\)
Suy ra \(DEKI\)là hình chữ nhật và \(I,D,H\)thẳng hàng.
Có \(\Delta BDI = \Delta CEK\left( {c.g.c} \right)\) suy ra \(BIKC\)là hình thang cân.
Lại có \(\widehat {OAL} = \widehat {OLA} = \widehat {LID}\left( {{\rm{Do}}\,\,OL{\rm{ // }}DI} \right)\)\( \Rightarrow AHLI\)là tứ giác nội tiếp
Suy ra \(DI.DH = DA.DL\), mà \(DA.DL = DB.DC\) (tứ giác \(ABLC\) nội tiếp), suy ra\(DI.DH = DB.DC\), suy ra tứ giác \(BHCI\) nội tiếp.
Lại có \(BIKC\) là hình thang cân nên tứ giác \(BIKC\) nội tiếp nên, suy ra năm điểm \(B,H,C,K,I\) cùng nằm trên một đường tròn.
Vậy tứ giác \(BHCK\)là tứ giác nội tiếp.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
