Cho tam giác nhọn \(ABC\left( {\widehat B \ne \widehat C} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Các
Cho tam giác nhọn \(ABC\left( {\widehat B \ne \widehat C} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Các đường cao xuất phát từ \(B\) và \(C\) lần lượt cắt đường thẳng \(AO\) tại \(D\) và \(E\). Gọi \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) và \(O'\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HDE.\) Chứng minh rằng:
a) \(\Delta HDE \sim \Delta ABC\) và \(AH\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O'} \right)\).
b) Đường thẳng \(AO'\) đi qua trung điểm của đoạn \(BC\).
Quảng cáo
a) Sử dụng cộng góc, bắc cầu góc chứng minh tam giác đồng dạng. Để chứng minh \(AH\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O'} \right)\) thì ta chứng minh \(\widehat {AHD} = \widehat {HED}\)
b) Gọi giao điểm của \(AO'\) với \(BC\) là \(M\). Ta chứng minh \(M\) là trung điểm \(BC\) bằng cách chứng minh \(OM \bot BC\) hay tứ giác \(AOMF\) là tứ giác nội tiếp
a) Không mất tính tổng quát , giả sử \(AB < AC.\) Gọi \(AL\) là đường cao của tam giác \(ABC,AF\) là tiếp tuyến của (O) \(\left( {L,F \in BC} \right),AK\) là đường kính
Ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {AKC},\widehat {ALB} = \widehat {ACK} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BAL} = \widehat {KAC}\) và \(\widehat {BAK} = \widehat {CAL}\)
Suy ra \(\widehat {DEH} = {90^0} - \widehat {BAK} = {90^0} - \widehat {CAH} = \widehat {ACB}.\)
Tương tự ta được \(\widehat {HDE} = \widehat {ABC} \Rightarrow \Delta HDE \sim \Delta ABC\)
Lại có \(\widehat {AHD} = {90^0} - \widehat {CAH} = \widehat {ACB} = \widehat {HED}\)
Vì vậy \(AH\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O'} \right)\).
b) Gọi giao điểm của \(AO'\) với \(BC\) là \(M\)
Ta có : \(\Delta ABF \sim \Delta HDA(g.g)\) (vì \(\widehat {AHD} = \widehat {ACB} = \widehat {BAF}\) và \(\widehat {DAH} = \widehat {BFA}\) do cùng phụ \(\widehat {FAL}\))
\(\Delta AOB,\Delta HO'D\) là hai tam giác cân tại \(O,O'\), lại có \(\widehat {HO'D} = 2\widehat {HED} = 2\widehat {ABC} = \widehat {AOB}\)
Suy ra \(\Delta AOB \sim \Delta HO'D\)
Suy ra \(\frac{{AF}}{{AH}} = \frac{{AB}}{{HD}} = \frac{{OA}}{{O'H}} \Rightarrow \Delta OAF \sim \Delta O'HA\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {AOF} = \widehat {AO'H} = \widehat {AMF}\left( {HO'\,\,{\rm{//}}\,BC} \right)\)\( \Rightarrow AOMF\) là tứ giác nội tiếp
Suy ra \(OM \bot BC \Rightarrow M\) là trung điểm BC
Vậy \(AO'\) đi qua \(M\) là trung điểm \(BC\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
