Với các số thực \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 2\), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 505516:

Vận dụng cao

Với các số thực \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 2\), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3\left( {a + b} \right) + ab\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:505516

Phương pháp giải

Kết hợp với giả thiết \({a^2} + {b^2} = 2\) biến đổi biểu thức \(P = 3\left( {a + b} \right) + ab\) trở thành \(P = \frac{1}{2}{\left( {a + b + 3} \right)^2} - \frac{{11}}{2}\)

Sau đó áp dụng Áp dụng BĐT Bunhiacopxki để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ban đầu

Giải chi tiết

Ta có \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab = 2 + 2ab\) \( \Rightarrow ab = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2}}{2} = \frac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} - 1\).

Khi đó ta có: \(P = 3\left( {a + b} \right) + ab = 3\left( {a + b} \right) + \frac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} - 1\).

\(\begin{array}{l}P = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + 6\left( {a + b} \right) + 9} \right] - \frac{{11}}{2}\\P = \frac{1}{2}{\left( {a + b + 3} \right)^2} - \frac{{11}}{2}\end{array}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: \({\left( {a + b} \right)^2} \le 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 2.2 = 4\) \( \Rightarrow - 2 \le a + b \le 2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 \le a + b + 3 \le 5\\ \Rightarrow - 5 \le \frac{1}{2}{\left( {a + b + 3} \right)^2} - \frac{{11}}{2} \le 7\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {P_{\min }} = - 5\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 2\\a = b\\a + b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = - 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) bằng \( - 5\), đạt được khi \(a = b = - 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link