Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Vẽ đường tròn tâm \(C\), bán kính \(CA\). Từ điểm \(B\) kẻ

Câu hỏi số 505515:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Vẽ đường tròn tâm \(C\), bán kính \(CA\). Từ điểm \(B\) kẻ tiếp tuyến \(BM\) với đường tròn \(\left( {C;CA} \right)\) (\(M\) là tiếp điểm, \(M\) và \(A\)nằm khác phía nhau đối với đường thẳng \(BC\)).

1) Chứng minh bốn điểm \(A,C,M\) và \(B\) cùng thuộc một đường tròn.

2) Lấy điểm \(N\) thuộc đoạn thẳng \(AB\)( \(N\) khác \(A\), \(N\) khác \(B\)). Lấy điểm \(P\) thuộc tia đối của \(MB\) sao cho \(MP = AN\). Chứng minh tam giác \(CPN\) là tam giác cân và đường thẳng \(AM\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(NP\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:505515

Phương pháp giải

1) Chứng minh tứ giác \(ACMB\) nội tiếp một đường tròn suy ra bốn điểm \(A,C,M\) và \(B\) cùng thuộc một đường tròn

2) Chứng minh \(CN = CP\)(2 cạnh tương ứng bằng nhau).\( \Rightarrow \Delta CNP\) cân tại \(C\). (đpcm).

Chứng minh \(CE\) là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta CNP\)\( \Rightarrow E\) là trung điểm của \(PN\)

Giải chi tiết

1) Ta có: tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\angle BAC = {90^0}\)

\(MB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {C;CA} \right)\) nên \(\angle CMB = {90^0}\) (định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn)

Xét tứ giác \(ACMB\) ta có: \(\angle CAB + \angle CMB = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow ACMB\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\)).

Hay bốn điểm \(A,C,M\) và \(B\) cùng thuộc một đường trònbốn điểm \(A,C,M\) và \(B\) cùng thuộc một đường tròn. (đpcm).

2) Xét tam giác \(CAN\) và tam giác \(CMP\) có:

\(AN = MP\,\,\,\,\left( {gt} \right)\)

\(\angle CAN = \angle CMP = {90^0}\)

\(AC = CM\)(\(A,M\) cùng thuộc đường tròn \(\left( {C;\,\,CA} \right)\))

\( \Rightarrow \Delta CAN = \Delta CMP\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow CN = CP\)(2 cạnh tương ứng bằng nhau).

\( \Rightarrow \Delta CNP\) cân tại \(C\). (đpcm).

Gọi \(E\) là giao điểm của \(AM\) và \(PN\).

Vì \(\Delta CAN = \Delta CMP\,\,\,\left( {cmt} \right)\) nên:

\(\angle ACN = \angle MCP\)(2 góc tương ứng bằng nhau)

\( \Rightarrow \angle ACM = \angle ACN + \angle NCM\) \( = \angle PCM + \angle MCN = \angle NCP\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta ACM\) và \(\Delta CNP\) là hai tam giác cân đỉnh \(C\) có \(\angle ACM = \angle PCN\)

\( \Rightarrow \angle CNP = \angle CAM\) (các góc ở đáy của các tam giác cân có góc ở đỉnh bằng nhau)

Hay \(\angle CAE = \angle CNE\)

\( \Rightarrow CANE\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có hai đỉnh kề 1 cạnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle CEN = {90^0} \Rightarrow CE \bot PN\)

Mà \(\Delta CNP\) cân tại \(C\) (cmt)

\( \Rightarrow CE\) là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta CNP\)

\( \Rightarrow E\) là trung điểm của \(PN\)

Vậy đường thẳng \(AM\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(NP\)(đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link