Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn. Qua \(M\) kẻ tiếp tuyến

Câu hỏi số 506292:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn. Qua \(M\) kẻ tiếp tuyến \(MA\) với đường tròn \(\left( O \right)\)(\(A\) là tiếp điểm). Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(MO\) đường thẳng này cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C\)(\(C\) khác \(A\)). Đường thẳng \(MC\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(B\)(\(B\) khác \(C\)). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(BC\).

a) Chứng minh tứ giác \(MAHO\) nội tiếp.

b) Chứng minh \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{MA}}{{MC}}\).

c) Chứng minh \(\angle BAH = {90^0}\).

d) Vẽ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Chứng minh hai tam giác \(ACH\) và \(DMO\)đồng dạng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:506292

Phương pháp giải

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: hai góc cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau bằng nhau

b) Chứng minh \(\Delta MAB \sim \Delta MCA\,\,\,\left( {g - g} \right)\) để suy ra hệ thức của đề bài

c) Chứng minh \(\angle MAO = \angle MAB + \angle BAO = {90^0}\) để suy ra \(\angle BAH = {90^0}\)

d) Chứng minh \(\angle AHC = \angle DOM\) và \(\frac{{AH}}{{OD}} = \frac{{HC}}{{OM}}\)

Giải chi tiết

a) Ta có: \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(BC\) \( \Rightarrow OH \bot BC \Rightarrow \angle OHB = {90^0}\) hay \(\angle OHM = {90^0}\)

Tứ giác \(MAHO\) có \(\angle MAO = \angle OHM = {90^0}\)

Suy ra tứ giác \(MAHO\) nội tiếp (hai góc cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau bằng nhau).

b) Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MCA\) ta có:

\(\angle AMB\,\,\,chung\)

\(\angle MAB = \angle MCA\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng, góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))

\( \Rightarrow \Delta MAB \sim \Delta MCA\,\,\,\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (đpcm).

c) Ta có: \(\angle OAH = \angle CMO\) (do tứ giác \(MAHO\) nội tiếp)

Lại có: \(\angle ACM = \angle CMO\) (hai góc so le trong)

\( \Rightarrow \angle OAH = \angle ACM\,\,\,\left( { = \angle CMO} \right)\)

Xét \(\left( O \right)\) ta có: \(\angle MAB = \angle ACM\) (cmt)

\( \Rightarrow \angle OAH = \angle MAB\,\,\left( { = \angle ACM} \right).\)

Lại có: \(\angle MAB + \angle BAO = \angle MAO = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle BAO + \angle HAO = \angle BAH = {90^0}\) (đpcm).

d) Ta có: tứ giác \(AMOH\) nội tiếp nên \(\angle AHM = \angle AOM\)( hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AM\))

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle AHM + \angle AHC = {180^0}\\\angle HOM + \angle DOM = {180^0}\end{array} \right.\)( hai góc kề bù)

Từ đó suy ra: \(\angle AHC = \angle DOM\)\(\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta AHB\)và \(\Delta AOM\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle BAH = \angle MAO = {90^0}\\\angle AHB = \angle AOM\end{array} \right.\)

Suy ra \(\Delta AHB \sim \Delta AOM\)\(\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{AH}}{{OA}} = \frac{{HB}}{{OM}}\) (hai cạnh tương ứng)

Tam giác \(OBC\) có \(OB = OC\) nên tam giác \(OBC\) cân tại \(O\), có \(OH \bot BC\)

Nên \(OH\) đồng thời là đường trung tuyến \( \Rightarrow HB = HC\)

Hay \(\frac{{AH}}{{OD}} = \frac{{HC}}{{OM}}\)\(\left( 2 \right)\) do \(\left( {OA = OD,\,\,HB = HC} \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra: \(\Delta ACH \sim \Delta DMO\,\,\left( {c.g.c} \right)\,\,\,\left( {dpcm} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link