Cho các số thực không âm \(a,\,\,b\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P = \frac{{\left( {{a^2}

Câu hỏi số 506293:

Vận dụng cao

Cho các số thực không âm \(a,\,\,b\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = \frac{{\left( {{a^2} + 2b + 3} \right)\left( {{b^2} + 2a + 3} \right)}}{{\left( {2a + 1} \right)\left( {2b + 1} \right)}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:506293

Phương pháp giải

Biến đổi tử số và mẫu số sao cho có nhân tử \({\left( {a + b + 1} \right)^2}\), sau đó rút gọn để tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức \(P\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} + 2b + 3 = {a^2} + 1 + 2b + 2 \ge 2\left( {a + b + 1} \right)\\{b^2} + 2a + 3 = {b^2} + 1 + 2a + 2 \ge 2\left( {a + b + 1} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow P \ge \frac{{4{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{\left( {2a + 1} \right)\left( {2b + 1} \right)}} = \frac{{4{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{4ab + 2\left( {a + b} \right) + 1}}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \Rightarrow 4ab \le {\left( {a + b} \right)^2}\\ \Rightarrow 4ab + 2\left( {a + b} \right) + 1 \le {\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right) + 1 = {\left( {a + b + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow P \ge \frac{{4{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}} = 4\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = 1\).

Vậy \({P_{\min }} = 4 \Leftrightarrow a = b = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link