Cho các số thực không âm \(a,\,\,b\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P = \frac{{\left( {{a^2}

Câu hỏi số 506293:

Vận dụng cao

Cho các số thực không âm \(a,\,\,b\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = \frac{{\left( {{a^2} + 2b + 3} \right)\left( {{b^2} + 2a + 3} \right)}}{{\left( {2a + 1} \right)\left( {2b + 1} \right)}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:506293

Phương pháp giải

Biến đổi tử số và mẫu số sao cho có nhân tử \({\left( {a + b + 1} \right)^2}\), sau đó rút gọn để tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức \(P\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} + 2b + 3 = {a^2} + 1 + 2b + 2 \ge 2\left( {a + b + 1} \right)\\{b^2} + 2a + 3 = {b^2} + 1 + 2a + 2 \ge 2\left( {a + b + 1} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow P \ge \frac{{4{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{\left( {2a + 1} \right)\left( {2b + 1} \right)}} = \frac{{4{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{4ab + 2\left( {a + b} \right) + 1}}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \Rightarrow 4ab \le {\left( {a + b} \right)^2}\\ \Rightarrow 4ab + 2\left( {a + b} \right) + 1 \le {\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right) + 1 = {\left( {a + b + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow P \ge \frac{{4{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}} = 4\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = 1\).

Vậy \({P_{\min }} = 4 \Leftrightarrow a = b = 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link