Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Một cát tuyến \(xy\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(E\) và

Câu hỏi số 506537:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Một cát tuyến \(xy\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(E\) và \(F\). Trên \(xy\) lấy điểm \(A\) nằm ngoài đoạn \(EF\), vẽ hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) với \(\left( O \right)\). Gọi \(H\) là trung điểm \(EF\).

a. Chứng tỏ 5 điểm A, B, C, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

b. Đường thẳng BC cắt OA và OH lần lượt tại I và K. Chứng minh \(OI.OA = OH.OK = {R^2}\)

c. Chứng minh KE, KF là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:506537

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nối tiếp để chứng minh

b) Vận dụng dấu hiệu nhận biết một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn nếu góc giữa bán kính và đường thẳng đó bằng \({90^0}\)

Giải chi tiết

a) Vì \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B,\,\,C\) nên \(\angle OBA = \angle OCA = {90^0}\) (gt)

\( \Rightarrow \angle OBA + \angle OCA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow OBAC\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(OA\) (dhnb) (1)

Ta có \(H\) là trung điểm của \(EF\) (gt) \( \Rightarrow OH \bot EF\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

\( \Rightarrow \angle OHA = {90^0}\) \( \Rightarrow H\) thuộc đường tròn đường kính \(OA\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A, B, C, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

b) Ta có:

\(OB = OC = R \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của \(BC\).

\(AB = AC\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của \(BC\).

\( \Rightarrow OA\) là trung trực của \(BC\) \( \Rightarrow OA \bot BC\) tại \(I\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OAB\) ta có: \(OI.OA = O{B^2} = {R^2}\) (3)

Xét tam giác \(OIK\) và \(\Delta OHA\) có:

\(\angle OIK = \angle OHA = {90^0}\)

\(\angle AOK\) chung

\( \Rightarrow \Delta OIK \sim \Delta OHA\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OK}}{{OA}}\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow OI.OA = OH.OK\) (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow OI.OA = OH.OK = {R^2}\) (đpcm).

c) Theo ý b) ta có \(OH.OK = {R^2} = O{E^2} \Rightarrow \frac{{OH}}{{OE}} = \frac{{OE}}{{OK}}\).

Xét \(\Delta OEH\) và \(\Delta OKE\) có:

\(\angle EOK\) chung,

\(\frac{{OH}}{{OE}} = \frac{{OE}}{{OK}}\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow OEH \sim \Delta OKE\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle OHE = \angle OEK = {90^0}\) (2 góc tương ứng).

\( \Rightarrow KE\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(E\).

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có

\(OH.OK = {R^2} = O{F^2} \Rightarrow \frac{{OH}}{{OF}} = \frac{{OF}}{{OK}}\).

Xét \(\Delta OFH\) và \(\Delta OKF\) có:

\(\angle FOK\) chung,

\(\frac{{OH}}{{OF}} = \frac{{OF}}{{OK}}\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow OFH \sim \Delta OKF\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle OHF = \angle OFK = {90^0}\) (2 góc tương ứng).

\( \Rightarrow KF\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(F\).

Vậy KE, KF là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link