Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {a - 1} \right)x + 2a - 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1

Câu hỏi số 506536:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {a - 1} \right)x + 2a - 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

a) Chứng minh rằng, phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(a\).

b) Tìm giá trị của \(a\)để phương trình \(\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 6\).

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa \({x_1},{x_2}\) không phụ thuộc vào \(a\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:506536

Phương pháp giải

a) Tính biệt thức đen – ta, yêu cầu đề bài tương đương với chứng minh \(\Delta ' > 0\,\,\forall a\)

b) Biến đổi biểu thức cần tính về \({x_1} + {x_2},{x_1}{x_2}\), sau đó vận dụng ứng dụng của hệ thức Vi – ét để tìm ra tham số a.

c) Biến đổi biểu thức cần tính về \({x_1} + {x_2},{x_1}{x_2}\), sau đó vận dụng ứng dụng của hệ thức Vi – ét để chứng minh biểu thức

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\Delta ' = {\left( {a - 1} \right)^2} - 2a + 5\)\( = {a^2} - 2a + 1 - 2a + 5\) \( = {a^2} + 6\)

Vì \({a^2} \ge 0\,\,\forall a \Rightarrow {a^2} + 6 > 0\,\,\forall a\)

\( \Rightarrow \Delta ' > 0\,\,\forall a\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(a.\)(đpcm)

b) Theo câu a) với mọi giá trị của \(a\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {a - 1} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = 2a - 5\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\,\)

Theo đề bài ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 6\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} = 6\\ \Leftrightarrow 4{\left( {a - 1} \right)^2} - 2\left( {2a - 5} \right) = 6\\ \Leftrightarrow 4{a^2} - 8a + 4 - 4a + 10 = 6\\ \Leftrightarrow 4{a^2} - 12a + 8 = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 3a + 2 = 0\end{array}\)

Ta có: \(\Delta = {3^2} - 4.2.1 = 1 > 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{3 + \sqrt 1 }}{2} = 2\) và \({x_2} = \frac{{3 - \sqrt 1 }}{2} = 1.\)

Vậy \(a = 2\) hoặc \(a = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Theo câu a) với mọi giá trị của \(a\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Ta có: \({x_1}.{x_2} = 2a - 5 \Rightarrow 2a = {x_1}.{x_2} + 5\)

Thay \(2a = {x_1}.{x_2} + 5\) vào \({x_1} + {x_2} = 2\left( {a - 1} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 2a - 2\\ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = {x_1}{x_2} + 5 - 2\\ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2} - 3 = 0\end{array}\)

Vậy hệ thức liên hệ giữa \({x_1},{x_2}\) không phụ thuộc vào \(a\) là \({x_1} + {x_2} - {x_1}.{x_2} - 3 = 0\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link