Cho số thực \(x\) thỏa mãn \(1 \le x \le 2\). Tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

Câu hỏi số 506886:

Vận dụng cao

Cho số thực \(x\) thỏa mãn \(1 \le x \le 2\). Tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:506886

Phương pháp giải

Biến đổi \(T = \frac{3}{x} + \frac{3}{{3 - x}} + 2\), vận dụng đẳng thức phụ \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\) để tìm giá trị nhỏ nhất

Giải chi tiết

\(T = \frac{{3 + x}}{x} + \frac{{6 - x}}{{3 - x}}\)

Ta có: \(T = \frac{{3 + x}}{x} + \frac{{6 - x}}{{3 - x}} = \frac{3}{x} + 1 + 1 + \frac{3}{{3 - x}} = \frac{3}{x} + \frac{3}{{3 - x}} + 2\)

Nhận thấy \(1 \le x \le 2\) suy ra \(x > 0,\,\,3 - x > 0\)

Chứng minh bắt đẳng thức phụ \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) với \(a,\,\,b\) là các số dương.

Ta có \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{{ab}} \ge \frac{4}{{a + b}} \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\)(đpcm)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\).

Áp dụng bất đẳng thức \(\left( 1 \right)\) với \(a = x,\,\,b = 3 - x\) ta được

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{3 - x}} \ge \frac{4}{{x + 3 - x}} = \frac{4}{3}\)\( \Rightarrow \frac{3}{x} + \frac{3}{{3 - x}} \ge 4\)\( \Rightarrow \frac{3}{x} + \frac{3}{{3 - x}} + 2 \ge 6\).

Vậy \({T_{\min }} = 6\). Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow x = 3 - x \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\,\,\left( {tm} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link