Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(M\) sao cho \(OM = 2R\). Kẻ các tiếp tuyến

Câu hỏi số 506885:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(M\) sao cho \(OM = 2R\). Kẻ các tiếp tuyến \(MA,\,\,MB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A,\,\,B\) là tiếp diểm). Trên đoạn thẳng \(AB\) lấy điểm \(I\) (với \(AI < BI\) và \(I\) khác \(A\)). Qua \(I\) vẽ dây \(CD\) sao cho \(IC = ID\) và \(C\) thuộc cung nhỏ \(AB\). Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C\) cắt tia \(OI\) tại \(Q\). Chứng minh

a) Tứ giác \(OCQD\) nội tiếp được đường tròn.

b) Tam giác \(AMB\) là tam giác đều.

c) \(OQ\) vuông góc với \(MQ\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:506885

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp, có \(\angle ODQ + \angle OCQ = {180^0}\)\( \Rightarrow OCQD\) là tứ giác nội tiếp

b) Sử dụng dấu hiệu nhận biết tam giác đều, có \(\Delta AMB\) cân tại \(M\) và \(\angle AMB = {60^0}\)

c) \(OAQB\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \)\(\angle OQM = \angle OAM = {90^0}\)\( \Rightarrow \)\(OQ \bot QM\,\)

Giải chi tiết

a) Xét tam giác \(OCD\) có \(OC = OD = R\) \( \Rightarrow \Delta OCD\) cân tại \(O\).

\( \Rightarrow \) Trung tuyến \(OI\) đồng thời là phân giác \( \Rightarrow \angle IOD = \angle IOC\) hay \(\angle DOQ = \angle COQ\).

Xét \(\Delta ODQ\) và \(\Delta OCQ\) có:

\(\begin{array}{l}\angle DOQ = \angle COQ\,\,\left( {cmt} \right)\\OQ\,\,chung\\OD = OC\,\,\left( { = R} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ODQ = \Delta OCQ\,\,\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \angle ODQ = \angle OCQ = {90^0}\) (2 góc tương ứng).

Xét tứ giác \(OCQD\) có: \(\angle ODQ + \angle OCQ = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) \( \Rightarrow OCQD\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Ta có \(MA = MB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \Delta AMB\) cân tại \(M\) (1)

Gọi \(P\) là trung điểm của \(OM\) \( \Rightarrow OP = R\) \( \Rightarrow P \in \left( {O;R} \right)\).

Ta có: \(AP = \frac{1}{2}OM = \frac{1}{2}.2R = R\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow OA = OP = AP = R\) \( \Rightarrow \Delta OAP\) đều (định nghĩa) \( \Rightarrow \angle AOP = \angle AOM = {60^0}\).

\( \Rightarrow \angle AMO = {90^0} - \angle AOM = {90^0} - {60^0} = {30^0}\).

Lại có \(MO\) là tia phân giác của góc \(\angle AMB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\angle AMB = 2\angle AMO = {2.30^0} = {60^0}\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \Delta AMB\) là tam giác đều.

c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ODQ\) có: \(O{D^2} = OI.OQ = O{A^2}\).

\( \Rightarrow \frac{{OA}}{{OI}} = \frac{{OQ}}{{OA}}\).

Xét tam giác \(OAI\) và tam giác \(OQA\) có:

\(\angle AOQ\) chung;

\(\frac{{OA}}{{OI}} = \frac{{OQ}}{{OA}}\,\,\left( {cmt} \right)\);

\( \Rightarrow \Delta OAI \sim \Delta OQI\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \angle OQA = \angle OAI = \angle OAB\) (2 góc tương ứng)

Mà \(OA = OB\,\,\left( { = R} \right)\) \( \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại \(O\) \( \Rightarrow \angle OAB = \angle OBA\) (2 góc ở đáy)

\( \Rightarrow \angle OQA = \angle OBA\).

\( \Rightarrow OAQB\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

Lại có \(\angle OAM + \angle OBM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên tứ giác \(OAMB\) nội tiếp (dhnb)

\( \Rightarrow O,\,\,A,\,\,Q,\,\,M,\,\,B\) cùng thuộc một đường tròn).

\( \Rightarrow \angle OQM = \angle OAM = {90^0}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(OM\)).

Vậy \(OQ \bot QM\,\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link