Cho đường tròn \(\left( O \right)\), từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn kẻ đường thẳng \(AO\)

Câu hỏi số 506981:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \(\left( O \right)\), từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn kẻ đường thẳng \(AO\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B,C\) \(\left( {AB < AC} \right)\). Qua \(A\) kẻ đường thẳng không đi qua tâm \(O\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(D,E\) \(\left( {AD < AE} \right)\). Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(A\) cắt đường thẳng \(CE\) tại \(F\).

a) Chứng minh tứ giác \(ABEF\) nội tiếp.

b) Gọi \(M\) là giao điểm thứ hai của \(FB\) với đường tròn \(\left( O \right)\). Chứng minh: \(DM\) vuông góc với \(AC\).

c) Chứng minh \(CE.CF + AD.AE = A{C^2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:506981

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: tứ giác có tổng hai góc đối ngau bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(MD//AF\) và kết hợp với \(AF \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\), suy ra \(MD \bot AC\)

c) Chứng minh \(\Delta BEC\, \sim \Delta FAC\,\,\,\left( {g.g} \right)\), \(\Delta ABD \sim \Delta AEC\,\,\left( {g.g} \right)\) suy ra các hệ thức về tỉ lệ các cạnh, cộng vế với vế biến đổi để ra đẳng thức cần chứng minh

Giải chi tiết

a) Ta có \(BC\) là đường kính của \(\left( O \right)\) nên \(\angle BEC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\( \Rightarrow \angle BEF = 180^\circ - \angle BEC = 90^\circ \) (hai góc kề bù)

Mà \(AB \bot AF \Rightarrow \angle BAF = 90^\circ \)

Xét tứ giác \(ABEF\) ta có: \(\angle BEF + \angle BAF = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

Vậy tứ giác \(ABEF\) nội tiếp (dhnb).

b) Ta có \(\angle BED = \angle BMD = \frac{1}{2}sdcBD\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\)).

Mà \(\angle BED = \angle BEA = \angle BFA\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(B\) của tứ giác nội tiếp \(ABEF\)).

\( \Rightarrow \angle BMD = \angle BFA\). Mà 2 góc này ở vị trí hai góc so le trong nên suy ra \(MD//AF\) (dhnb).

Mà \(AF \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\).

Vậy \(MD \bot AC\) (đpcm).

c) Xét \(\Delta BEC\) và \(\Delta FAC\) có:

\(\angle BEC = \angle FAC = {90^0}\);

\(\angle ACF\) chung

\( \Rightarrow \)\(\Delta BEC\, \sim \Delta FAC\,\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{CE}}{{AC}} = \frac{{BC}}{{CF}} \Rightarrow CE.CF = AC.BC\) (1)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEC\) có:

\(\angle EAC\) chung;

\(\angle ADB = \angle ACE\) (Góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp \(BDEC\)).

\( \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AEC\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AE}} \Rightarrow AD.AE = AB.AC\) (2)

Cộng vế theo vế của (1) với (2) ta được:

\(CE.CF + AD.AE = AC.BC + AC.AB = AC.\left( {BC + AB} \right) = A{C^2}\).

Vậy \(CE.CF + AD.AE = A{C^2}\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link