Cho hình lăng trụ đứng, đáy là tam giác vuông, chiều cao bằng 6. Số đo ba cạnh của tam giác

Câu hỏi số 507048:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng, đáy là tam giác vuông, chiều cao bằng 6. Số đo ba cạnh của tam giác đáy là các số nguyên. Số đo diện tích toàn phần của lăng trụ bằng số đo thể tích của lăng trụ. Tính số đo ba cạnh tam giác đáy của lăng trụ.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507048

Phương pháp giải

Gọi độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác đáy lần lượt là \(x,\,\,y\,\,\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) , sau đó suy ra độ dài của cạnh huyền của tam giác, tính thể tích hình lăng trụ, tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ, sau đó lập bảng để tìm các giá trị nguyên

Giải chi tiết

Gọi độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác đáy lần lượt là \(x,\,\,y\,\,\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) \( \Rightarrow \) độ dài cạnh huyền của tam giác đáy là \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \,\,\,\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) (Định lí Pytago).

\( \Rightarrow \) Diện tích tam giác đáy là \({S_d} = \frac{1}{2}xy\).

\( \Rightarrow \) Thể tích lăng trụ là \(V = h.{S_d} = 6.\frac{1}{2}xy = 3xy\).

Diện tích xung quanh của lăng trụ là \({S_{xq}} = 6.\left( {x + y + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\).

\( \Rightarrow \) Diện tích toàn phần của lăng trụ là: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d} = 6.\left( {x + y + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right) + xy\).

Theo bài ra ta có: Số đo diện tích toàn phần của lăng trụ bằng số đo thể tích của lăng trụ nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,6.\left( {x + y + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right) + xy = 3xy\\ \Leftrightarrow 3\left( {x + y + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right) = xy\\ \Leftrightarrow 3\left( {x + y} \right) + 3\sqrt {{x^2} + {y^2}} = xy\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} = \frac{{xy - 3\left( {x + y} \right)}}{3}\end{array}\)

Đặt \(x + y = S,\,\,xy = P\,\,\left( {S,\,\,P > 0} \right)\), ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt {{S^2} - 2P} = \frac{{P - 3S}}{3}\\ \Leftrightarrow {S^2} - 2P = {\left( {\frac{{P - 3S}}{3}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 9{S^2} - 18P = {P^2} - 6SP + 9{S^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {P^2} - 6SP + 18P = 0\\ \Leftrightarrow P - 6S + 18 = 0\,\,\,\left( {Do\,\,P > 0} \right)\\ \Leftrightarrow xy - 6\left( {x + y} \right) + 18 = 0\\ \Leftrightarrow xy - 6x - 6y + 36 = 18\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 6} \right) - 6\left( {y - 6} \right) = 18\\ \Leftrightarrow \left( {x - 6} \right)\left( {y - 6} \right) = 18\end{array}\)

Vì \(x,\,\,y \in {\mathbb{N}^*}\) nên ta có bảng sau:

Vậy có 3 bộ số đo ba cạnh tam giác của đáy hình trụ thỏa mãn là \(\left( {7;24;25} \right);\,\,\left( {8;15;17} \right);\,\,\left( {9;12;15} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link