Giải phương trình \(9{x^2} = \left( {{x^2} + x - 5} \right){\left( {\sqrt {3x + 1} - 1} \right)^2}\)

Câu hỏi số 507172:

Vận dụng

A. \(S = \left\{ 5 \right\}\)

B. \(S = \left\{ { - 5} \right\}\)

C. \(S = \left\{ {0;5} \right\}\)

D. \(S = \left\{ {0; - 5} \right\}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507172

Phương pháp giải

Xác định điều kiện của phương trình, biến đổi phương trình tìm được một nghiệm của hệ, đối với hệ phương trình còn lại, vận dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình tìm nghiệm còn lại.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: \(x \ge \frac{{ - 1}}{3}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,9{x^2} = \left( {{x^2} + x - 5} \right){\left( {\sqrt {3x + 1} - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 9{x^2} = \left( {{x^2} + x - 5} \right){\left[ {\frac{{\left( {\sqrt {3x + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)}}{{\sqrt {3x + 1} + 1}}} \right]^2}\\ \Leftrightarrow 9{x^2} - \left( {{x^2} + x - 5} \right)\frac{{9{x^2}}}{{{{\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 9{x^2}\left( {1 - \frac{{{x^2} + x - 5}}{{{{\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)}^2}}}} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9{x^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\1 - \frac{{{x^2} + x - 5}}{{{{\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)}^2}}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Giải \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 1 - \frac{{{x^2} + x - 5}}{{{{\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)}^2}}} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + x - 5 = {\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 5 = 3x + 1 + 2\sqrt {3x + 1} + 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 7 = 2\sqrt {3x + 1} \end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt {3x + 1} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\)\( \Rightarrow x = \frac{{{t^2} - 1}}{3}\)

Khi đó phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{{{t^2} - 1}}{3}} \right)^2} - 2\frac{{{t^2} - 1}}{3} - 7 - 2t = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{t^2} - 1} \right)^2} - 6\left( {{t^2} - 1} \right) - 9.7 - 18t = 0\\ \Leftrightarrow {t^4} - 2{t^2} + 1 - 6{t^2} + 6 - 63 - 18t = 0\\ \Leftrightarrow {t^4} - 8{t^2} - 18t - 56 = 0\\ \Leftrightarrow {t^4} - 16{t^2} + 8{t^2} - 18t - 56 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2}\left( {t - 4} \right)\left( {t + 4} \right) + 2\left( {t - 4} \right)\left( {4t + 7} \right) = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {t - 4} \right)\left( {{t^3} + 4{t^2} + 8t + 14} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\\{t^3} + 4{t^2} + 8t + 14 = 0\,\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\,\,\left( {do\,\,\,t \ge 0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(t = 4\) ta có \(x = \frac{{{4^2} - 1}}{3} = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {0;5} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link