Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = \left( {2 - 2m}

Câu hỏi số 507506:

Vận dụng

Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = \left( {2 - 2m} \right)x + m\) (\(m\) là tham số). Chứng minh rằng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của \(m\). Khi đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm \(A,\,\,B\) sao cho \(M\left( {\frac{1}{2};1} \right)\) là trung điểm của đoạn \(AB\), hai điểm \(H,\,\,K\) là hình chiếu vuông góc của \(A,\,\,B\) lên trục hoành. Tính độ dài đoạn thẳng \(KH\).

A. \(HK = \sqrt 3 \)

B. \(HK = 3\)

C. \(HK = 9\)

D. \(HK = 2\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507506

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\), tìm điều kiên để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt, áp dụng hệ thức Vi – ét, xác định tạo độ điểm \(A,\,\,B\), sau đó tìm được tọa độ hai điểm \(H,\,\,K\).

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} = \left( {2 - 2m} \right)x + m \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} + m = {m^2} - m + 1 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\,\,\forall m\).

Do đó phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\) hay \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).

Đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm \(A,\,\,B\) , áp dụng định lí Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = - 2\left( {m - 1} \right)\\{x_A}{x_B} = - m\end{array} \right.\).

Vì \(M\left( {\frac{1}{2};1} \right)\) là trung điểm của đoạn \(AB\) nên \(\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {x_A} + {x_B} = 1 \Leftrightarrow - 2\left( {m - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\).

Khi đó phương trình (1) trở thành \({x^2} - x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow y = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}\\x = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow y = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow A\left( {\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2};\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}} \right),\,\,B\left( {\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2};\frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}} \right)\)

Vì \(H,\,\,K\) là hình chiếu vuông góc của \(A,\,\,B\) lên trục hoành nên \(H\left( {\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2};0} \right),\,\,K\left( {\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2};0} \right)\).

Vậy \(KH = \left| {{x_H} - {x_K}} \right| = \left| {\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2} - \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \right| = \left| {\frac{{1 + \sqrt 3 - 1 + \sqrt 3 }}{2}} \right| = \sqrt 3 \).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link