Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\), điểm \(E\) nằm trên đoạn thẳng \(OB\) (\(E\) khác \(O\), \(B\)),

Câu hỏi số 507509:

Vận dụng

Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\), điểm \(E\) nằm trên đoạn thẳng \(OB\) (\(E\) khác \(O\), \(B\)), \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên đường thẳng \(AE\). Gọi \(F\) là giao điểm của \(AC\) và \(DH\).

a) Chứng minh \(HD\) là tia phân giác của góc \(AHC\).

b) Chứng minh diện tích hình vuông \(ABCD\) bằng hai lần diện tích tứ giác \(AEFD\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507509

Phương pháp giải

a) Vận dụng tính chất của tứ giác nội tiếp để suy ra các góc bằng nhau.

b) Đặt cạnh hình vuông là \(a\,\,\left( {a > 0} \right)\), sau đó tính \({S_{ABCD}}\) và \({S_{AEFD}}\) theo \(a\)

Giải chi tiết

a) Xét tứ giác \(AHCD\) có: \(\angle AHC + \angle ADC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) \( \Rightarrow AHCD\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

\( \Rightarrow AHD = \angle ACD = {45^0}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD\)).

Và \(\angle CHD = \angle CAD = {45^0}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(CD\)).

\( \Rightarrow \angle AHD = \angle CHD = {45^0}\).

Vậy \(HD\) là tia phân giác của góc \(AHC\).

b) Đặt cạnh hình vuông là \(a\,\,\left( {a > 0} \right)\) \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = {a^2}\).

Vì \(AC \bot BD\) (tính chất hình vuông) nên \(AF \bot DE\) \( \Rightarrow {S_{AEFD}} = \frac{1}{2}AF.DE\).

Xét tứ giác \(OEHC\) có: \(\angle EOC + \angle EHC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên \(OEHC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \angle OEA = \angle OCH\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Tương tự ta có tứ giác \(DAHC\) nội tiếp

\( \Rightarrow \angle ADF = \angle OCH\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AH\)).

\( \Rightarrow \angle OEA = \angle ADF\)

Xét \(\Delta ADF\) và \(\Delta DEA\) có:

\(\begin{array}{l}\angle FAD = \angle ADE = {45^0}\\\angle ADF = \angle OEA = \angle DEA\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ADF \sim \Delta DEA\,\,\left( {g.g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{DE}} \Rightarrow A{D^2} = AF.DE = {a^2}\).

Vậy \({S_{AEFD}} = \frac{1}{2}AF.DE = \frac{1}{2}{a^2} \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{AEFD}}\,\,\left( {dpcm} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link