Cho tam giác nhọn \(ABC\)\(\left( {AB < AC} \right)\), đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính

Câu hỏi số 507510:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn \(ABC\)\(\left( {AB < AC} \right)\), đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(BC\) cắt \(AB,AC\) lần lượt tại \(F,E\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(BE\) và \(CF\), đường thẳng \(AH\) cắt \(BC\) tại \(D\).

a) Chứng minh tứ giác \(ODFE\) nội tiếp đường tròn.

b) Gọi \(K\) là giao điểm của \(AH\) và \(EF\), \(I\) là trung điểm của \(AH\). Đường thẳng \(CI\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\) (\(M\) khác \(C\)). Chứng minh \(CI\) vuông góc với \(KM\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507510

Phương pháp giải

a) Vận dụng tính chất và dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: Tứ giác có góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện bằng nhau là tứ giác nội tiếp.

b) + 5 điểm \(I,F,D,O,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(IO\), suy ra \(\angle KFI = \angle IDF\)

+ và , suy ra \(\Delta IKM \sim \Delta ICD\left( {c.g.c} \right)\)

Giải chi tiết

a) Tứ giác \(FACD\) có \(\angle AFC = \angle ADC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\). Suy ra tứ giác \(FACD\) nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle FDB = \angle BAC\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Mặt khác ta có:

\(\angle FEA + \angle FEO + \angle OEC = \angle AEC = {180^0}\).

Tam giác \(OEC\) cân tại \(O\) suy ra \(\angle OEC = \angle BCA\) (tính chất tam giác cân)

Tứ giác \(BFEC\) có \(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\) suy ra tứ giác này nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle ABC = \angle FEA\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Suy ra \(\angle FEO = {180^0} - \angle ABC - \angle ACB = \angle CAB\) (tổng 3 góc trong 1 tam giác).

Mặt khác \(\angle FDB = \angle CAB\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Suy ra \(\angle FDB = \angle FEO\).

Tứ giác \(ODFE\) có: \(\angle FDB = \angle FEO\,\,\left( {cmt} \right)\) suy ra tứ giác \(ODFE\) nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện bằng nhau).

b) Ta có tam giác \(OBF\) cân tại \(O\) suy ra \(\angle OBF = \angle OFB\) ( tính chất tam giác cân)

Tam giác \(FAH\) vuông tại \(F\) có \(I\) là trung điểm của \(AH\) (gt) suy ra \(FI = \frac{1}{2}AH = IA\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Suy ra \(\Delta FIA\) cân tại \(I \Rightarrow \angle IFA = \angle IAF = \angle BAD\) (tính chất tam giác cân)

Mặt khác \(\angle OBF + \angle DAB = {90^0} \Rightarrow \angle BFO + \angle AFI = {90^0}\).

Mà \(\angle BFO + \angle IFO + \angle AFI = {180^0}\). Suy ra \(\angle IFO = {90^0}\)\( \Leftrightarrow FI \bot FO\).

Chứng minh tương tự ta cũng có \(IE \bot OE\).

Ta có \(\angle OFI = \angle OEI = \angle ODI = {90^0}\) (cmt) \( \Rightarrow E,\,\,F,\,\,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OI\).

Suy ra 5 điểm \(I,F,D,O,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(IO\).

Tam giác \(AEH\) vuông tại \(E\) có \(I\) là trung điểm \(AH\)\( \Leftrightarrow IE = \frac{1}{2}AH = FI\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông) \( \Rightarrow cungIE = cungIF\) (hai dây bằng nhau căng 2 cung bằng nhau)

Suy ra \(\angle KFI = \angle IDF\)( hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

Xét tam giác \(IKF\) và tam giác \(IFD\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle FIK = \angle FID\\\angle KFI = \angle IDF\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{{IK}}{{FI}} = \frac{{FI}}{{ID}}\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow IK.ID = F{I^2}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có \(IE \bot OE\,\,\,\left( {cmt} \right)\) suy ra \(IE\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) \( \Rightarrow \angle IEM = \angle ICE\) (góc nội tiếp và góc tạp bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(ME\)).

Xét tam giác \(IME\) và tam giác \(IEC\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle IEM = \angle ICE\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle MIE = \angle CIE\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{{IM}}{{IE}} = \frac{{IE}}{{IC}}\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow IM.IC = I{E^2} = F{I^2}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) ta có \(IM.IC = IK.ID \Rightarrow \frac{{IK}}{{IM}} = \frac{{IC}}{{ID}}\).

Suy ra \(\Delta IKM \sim \Delta ICD\left( {c.g.c} \right)\) vì \(\left\{ \begin{array}{l}\angle KIM = \angle CID\\\frac{{IK}}{{IM}} = \frac{{IC}}{{ID}}\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle IMK = \angle IDC = {90^0}\) (2 góc tương ứng) hay \(KM \bot CI\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link