Rút gọn biểu thức sau: a) \(A = \dfrac{3}{{{{\left( {1.2} \right)}^2}}} + \dfrac{5}{{{{\left( {2.3}

Câu hỏi số 507872:

Vận dụng

Rút gọn biểu thức sau:

a) \(A = \dfrac{3}{{{{\left( {1.2} \right)}^2}}} + \dfrac{5}{{{{\left( {2.3} \right)}^2}}} + ... + \dfrac{{2n + 1}}{{{{\left[ {n\left( {n + 1} \right)} \right]}^2}}}\)

b) \(B = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{4^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507872

Phương pháp giải

Xuất phát từ hạng tử cuối để tìm ra quy luật

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\dfrac{{2n + 1}}{{{{\left[ {n\left( {n + 1} \right)} \right]}^2}}} = \dfrac{{2n + 1}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{n^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)

Khi đó, \(A = \dfrac{1}{{{1^2}}} - \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}} - \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} - ... - \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^2}}}\)

\(\begin{array}{l} = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{{\left( {n - 1} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {n - 1 - 1} \right)\left( {n - 1 + 1} \right)}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{n\left( {n - 2} \right)}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

b) Ta có: \(1 - \dfrac{1}{{{n^2}}} = \dfrac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}} = \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}{{{n^2}}}\)

Khi đó, \(B = \dfrac{{1.3}}{{{2^2}}}.\dfrac{{2.4}}{{{3^2}}}.\dfrac{{3.5}}{{{4^2}}}...\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}{{{n^2}}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{1.3.2.4...\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}{{{2^2}{{.3}^2}{{.4}^2}...{n^2}}}\\ = \dfrac{{1.2.3...\left( {n - 1} \right)}}{{2.3.4...\left( {n - 1} \right).n}}.\dfrac{{3.4.5...\left( {n + 1} \right)}}{{2.3.4...n}}\end{array}\)

\( = \dfrac{1}{n}.\dfrac{{n + 1}}{2} = \dfrac{{n + 1}}{{2n}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link