Cho \(a,b,c\) từng đôi một khác nhau thỏa mãn:\({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\).

Câu hỏi số 507873:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) từng đôi một khác nhau thỏa mãn:\({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\). Rút gọn biểu thức: \(C = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507873

Phương pháp giải

Biến đổi giả thiết, biến đổi các biểu thức hữu tỉ, sau đó rút gọn được biểu thức \(C\).

Giải chi tiết

Theo giả thiết: \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac = {a^2} + {b^2} + {c^2}\\ \Leftrightarrow ab + bc + ac = 0\end{array}\)

Ta có: \({a^2} + 2bc = {a^2} + 2bc - \left( {ab + bc + ac} \right) = {a^2} - ab + bc - ac = \left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\)

Biến đổi tương tự, ta có: \({b^2} + 2ac = \left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right);{c^2} + 2ab = \left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)\)

\(C = \dfrac{{{a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \dfrac{{{b^2}}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \dfrac{{{c^2}}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{{a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - \dfrac{{{b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}} + \dfrac{{{c^2}}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\\ = \dfrac{{{a^2}\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} - \dfrac{{{b^2}\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} + \dfrac{{{c^2}\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} = 1\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link