Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = 3a\,;\,\,AC = a\sqrt {10} \,,\,\,SA\)

Câu hỏi số 509854:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = 3a\,;\,\,AC = a\sqrt {10} \,,\,\,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SA = 2a\). Gọi \(M\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(DC\) sao cho \(DC = 3DM\).

a) Tính thể tích của hình chóp \(S.ABCD\).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường \(BM\) và \(SD\).

A. \(2{a^3};\,\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

B. \(6{a^3};\dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)

C. \(2{a^3};\,\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\)

D. \(6{a^3};\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:509854

Phương pháp giải

a) Tính \(BC\).

Công thức tính thể tích: \(V = \dfrac{1}{3}h.S\), với \(h\) là chiều cao của hình chóp, \(S\) là diện tích đáy.

b) Dựng mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(SD\) và song song với \(MB\).

Lập các tỷ số giữa \(d\left( {SD,MB} \right)\,;\,\,d\left( {B,\left( \alpha \right)} \right)\,;\,\,d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right)\).

Tính khoảng cách \(d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right)\).

Giải chi tiết

a) Ta có \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB = 3a\,;\,\,AC = a\sqrt {10} \Rightarrow BC = a\)

Thể tích khối chóp: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}h.S = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.2a.a.3a = 2{a^3}\)

b) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(DN||BM\) \( \Rightarrow BM||\left( {SDN} \right) \Rightarrow d\left( {MB,SD} \right) = d\left( {B,\left( {SDN} \right)} \right)\)

Ta có \(BM||DN \Rightarrow BMDN\) là hình bình hành

\( \Rightarrow BN = MD = \dfrac{1}{3}CD = \dfrac{1}{3}AB \Rightarrow BN = \dfrac{1}{2}AN \Rightarrow d\left( {B,\left( {SDN} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {SDN} \right)} \right)\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ \(AH \bot DN,\,\,AK \bot SH\)

\( \Rightarrow \left( {SAH} \right) \bot DN \Rightarrow \left( {SAH} \right) \bot \left( {SDN} \right) \Rightarrow AK \bot \left( {SDN} \right) \Rightarrow AK = d\left( {A,\left( {SDN} \right)} \right)\)

Xét tam giác vuông \(AND\) ta có:

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{N^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}}\)

Xét tam giác vuông \(SAH\) ta có:

\(\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}} + \dfrac{1}{{S{A^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} = \dfrac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow AK = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} \)

\( \Rightarrow d\left( {BM,SD} \right) = \dfrac{1}{2}.a\sqrt {\dfrac{2}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.