Hoàn thành bài sau: a) Chứng minh rằng \(A = 5 + {5^3} + {5^5} + ... + {5^{201}} + {5^{203}}\) chia hết cho

Câu hỏi số 509863:

Thông hiểu

Hoàn thành bài sau:

a) Chứng minh rằng \(A = 5 + {5^3} + {5^5} + ... + {5^{201}} + {5^{203}}\) chia hết cho 31.

b) Cho \(B = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{11}}.\) Chứng minh rằng \(B\,\, \vdots \,\,40.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:509863

Phương pháp giải

Nhóm các số hạng với nhau thành các cặp chia hết cho \(31,\,\,40\).

Sử dụng: \(a\,\, \vdots m \Rightarrow a.k\,\, \vdots \,\,m;k \in \mathbb{N}\)

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}A = 5 + {5^3} + {5^5} + \ldots + {5^{201}} + {5^{203}}\\A = \left( {5 + {5^3} + {5^5}} \right) + \left( {{5^7} + {5^9} + {5^{11}}} \right) + \ldots + \left( {{5^{199}} + {5^{201}} + {5^{203}}} \right)\\A = 5.\left( {1 + {5^2} + {5^4}} \right) + {5^7}.\left( {1 + {5^2} + {5^4}} \right) + \ldots + {5^{199}}.\left( {1 + {5^2} + {5^4}} \right)\\A = 5.651 + {5^7}.651 + \ldots + {5^{199}}.651\\A = \left( {5 + {5^7} + \ldots + {5^{199}}} \right).651\\A = \left( {5 + {5^7} + \ldots + {5^{199}}} \right).21.31\,\, \vdots \,\,31\end{array}\)

Vậy \(B = 5 + {5^3} + {5^5} + ... + {5^{201}} + {5^{203}}\) chia hết cho 31.

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}B = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{11}}\\B = \left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3}} \right) + \left( {{3^4} + {3^5} + {3^6} + {3^7}} \right) + \left( {{3^8} + {3^9} + {3^{10}} + {3^{11}}} \right)\\B = \left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3}} \right) + {3^4}\left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3}} \right) + {3^8}\left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3}} \right)\\B = 40 + {3^4}.40 + {3^8}.40\\B = 40.\left( {1 + {3^4} + {3^8}} \right)\,\, \vdots \,\,40\end{array}\)

Vậy \(B\,\, \vdots \,\,40\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link