Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 30cm\); \(BC = 20cm\). Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt nằm trên

Câu hỏi số 510719:

Vận dụng cao

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 30cm\); \(BC = 20cm\). Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt nằm trên \(BC\),\(AB\), \(AD\), \(DC\) sao cho \(MB = BN = QN = DP\). Tính độ dài \(MB\) để diện tích tứ giác \(MNPQ\) là lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:510719

Phương pháp giải

+ Đặt ẩn \(AM = x\) để đưa bài toán về tìm giá trị lớn nhất trong đại số.

+ Trình bày công thức tính diện tích hình chữ nhật \(ABCD\),\(\Delta MBN;\Delta NAP;\Delta MCQ;\Delta PDQ\) theo \(x\).

+ Biểu diện diện tích tứ giác \(MNPQ\) theo diện tích hình chữ nhật \(ABCD\),\(\Delta MBN;\Delta NAP;\Delta MCQ;\Delta PDQ\).

+ Tìm giá trị lớn nhất theo phương pháp đại số.

Giải chi tiết

Đặt , ta có:

\(\begin{array}{l}AN = AB - BN = 30 - x\\CM = BC - BM = 20 - x\\AP = AD - DP = 20 - x\\CQ = CD - DQ = 30 - x\end{array}\)

Ta có: \({S_{ABCD}} = 20.30 = 600\left( {c{m^2}} \right)\)

Vì \(\Delta MBN;\Delta NAP;\Delta MCQ;\Delta PDQ\) là các tam giác vuông nên ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{MBN}} = \frac{1}{2}.BM.BN = \frac{1}{2}.x.x = \frac{1}{2}{x^2}\\{S_{NAP}} = \frac{1}{2}.AN.AP = \frac{1}{2}.\left( {30 - x} \right).\left( {20 - x} \right)\\{S_{MCQ}} = \frac{1}{2}.CQ.CM = \frac{1}{2}.\left( {30 - x} \right).\left( {20 - x} \right)\\{S_{PDQ}} = \frac{1}{2}.DQ.DP = \frac{1}{2}.x.x = \frac{1}{2}{x^2}\end{array}\)

Ta có: \({S_{MNPQ}} = {S_{ABCD}} - {S_{MBN}} - {S_{NAP}} - {S_{MCQ}} - {S_{PDQ}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{MNPQ}} = 600 - \frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}.\left( {20 - x} \right)\left( {30 - x} \right) - \frac{1}{2}.\left( {20 - x} \right)\left( {30 - x} \right) - \frac{1}{2}{x^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 600 - {x^2} - \left( {20 - x} \right)\left( {30 - x} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 600 - {x^2} - 600 + 20x + 30x - {x^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 2{x^2} + 50x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 2\left( {{x^2} - 25x + \frac{{625}}{4}} \right) + \frac{{625}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 2{\left( {x - \frac{{25}}{2}} \right)^2} + \frac{{625}}{2}\end{array}\)

Vì \({\left( {x - \frac{{25}}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\)

nên \( - {\left( {x - \frac{{25}}{2}} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x\)

\( \Leftrightarrow - {\left( {x - \frac{{25}}{2}} \right)^2} + \frac{{625}}{2} \le \frac{{625}}{2}\) với mọi \(x\)

hay \({S_{MNPQ}} \le \frac{{625}}{2}\) với mọi \(x\)

Đẳng thức xảy ra

Vậy diện tích \(MNPQ\) lớn nhất bằng \(\frac{{625}}{2}c{m^2}\) khi \(AM = \frac{{25}}{2}cm\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link