Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*},\,\,{A_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n\) chia hết cho \(3.\)

Câu hỏi số 512051:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512051

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp.

\({\left( {k + 1} \right)^3} = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1\)

\({\left( {k + 1} \right)^2} = {k^2} + 2k + 1\)

Giải chi tiết

Với \(n = 1\) ta có: \({A_1} = {1^3} + {3.1^2} + 5.1 = 9\,\, \vdots \,\,3\) (đúng)

Giả sử \({A_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n\,\, \vdots \,\,3\) đúng với \(n = k\,\,\left( {k \ge 1} \right),\) tức là: \({A_k} = {k^3} + 3{k^2} + 5k\,\, \vdots \,\,3\)

Ta phải chứng minh \({A_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n\,\, \vdots \,\,3\) đúng với \(n = k + 1,\) tức là:

\({A_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

Thật vậy:

\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 3{k^2} + 6k + 3 + 5k + 5\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{k^3} + 3{k^2} + 5k} \right) + 3{k^2} + 6k + + 9\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{k^3} + 3{k^2} + 5k} \right) + 3\left( {{k^2} + 2k + 3} \right).\end{array}\)

Vì \({k^3} + 3{k^2} + 5k\,\, \vdots \,\,3;\,\,3\left( {{k^2} + 2k + 3} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

\( \Rightarrow {A_{k + 1}} = \left( {{k^3} + 3{k^2} + 5k} \right) + 3\left( {{k^2} + 2k + 3} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

Hay \({A_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n\,\, \vdots \,\,3\) đúng với \(n = k + 1.\)

Vậy \({A_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n\,\, \vdots \,\,3\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link