Nghiệm âm lớn nhất của phương trình \(\sin x + \cos x = 1 - \dfrac{1}{2}\sin 2x\) là

Câu hỏi số 512881:

Vận dụng

A. \( - 2\pi \).

B. \( - \pi \).

C. \( - \dfrac{{3\pi }}{2}\).

D. \( - \dfrac{\pi }{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512881

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sin \,x + \cos x = \sqrt 2 .\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right).\) Từ đó rút ra \(\sin 2x = {t^2} - 1\).

Đưa phương trình lượng giác ban đầu về phương trình bậc hai ẩn \(t\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sin \,x + \cos x = \sqrt 2 .\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right).\) Điều kiện \( - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 \)

Ta có: \({t^2} = {\left( {\sin \,x + cos} \right)^2} = {\sin ^2}x + co{s^2}x + 2\sin \,x.\cos x \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1\)

Phương trình đã cho trở thành \(t = 1 - \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 3\left( L \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = 1,\) ta được

\(\begin{array}{l}\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \pi - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

TH1: Với \(x = k2\pi < 0 \Leftrightarrow k < 0 \Rightarrow {k_{\max }} = - 1 \Rightarrow x = - 2\pi \)

TH2: Với \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi < 0 \Leftrightarrow k < - \dfrac{1}{4} \Rightarrow {k_{max}} = - 1 \Rightarrow x = - \dfrac{{3\pi }}{2}\)

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \(x = - \dfrac{{3\pi }}{2}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.