Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC\). Tia phân goác của các góc \(BAC\) cắt \(BC\) tại \(D\). Trên

Câu hỏi số 515290:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC\). Tia phân goác của các góc \(BAC\) cắt \(BC\) tại \(D\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = AB.\)

a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta AMD\)

b) Chứng minh \(DB = DM\) và \(\angle ABD = \angle AMD\).

c) Kéo dài \(AB\) và \(MD\) cắt nhau ở \(N\). Chứng minh \(\Delta BDN = \Delta MDC\).

d) Chứng minh \(AD\) vuông góc với \(BM\) và \(BM\) song song với \(NC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:515290

Phương pháp giải

a) Vận dụng kiến thức về hai tam giác bằng nhau: chứng minh \(\Delta ABD = \Delta AMD\left( {c.g.c} \right)\)

b) Từ chứng minh a có \(\Delta ABD = \Delta AMD\left( {c.g.c} \right)\)suy ra được điều phải chứng minh của đề bài

c) Vận dụng kiến thức về 2 góc bù nhau, suy ra \(\angle NBD = \angle CMD\)

Vận dụng kiến thức về hai tam giác bằng nhau: chứng minh \(\Delta BND = \Delta MCD\left( {g.c.g} \right)\)

d) Vận dụng tính chất của tam giác cân: đường phân giác trong tam giác cân cũng là đường cao của tam giác đó. Cụ thể chứng minh \(AD\) là đường cao của tam giác cân \(ABM \Rightarrow AD \bot BM\,\,\,\left( 1 \right)\).

Chứng minh tương tự \(AD\) cũng là đường cao của tam giác cân \(ANC \Rightarrow AD \bot NC\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), suy ra \(BM//NC\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Giải chi tiết

a) Vì \(AD\) là tia phân giác của \(\angle BAC\) nên \(\angle BAD = \angle DAC\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AMD\) có:

\(\left. \begin{array}{l}AB = AM\\\angle BAD = \angle DAM\\AD\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ABD = \Delta AMD\left( {c.g.c} \right)\)

b) Vì \(\Delta ABD = \Delta AMD\left( {cmt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM = AB\\\angle ABD = \angle AMD\end{array} \right.\)(2 cạnh tương ứng và 2 góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

c) Ta có: \(\angle NBD + \angle ABD = {180^0}\) (2 góc kề bù)

\(\angle CMD + \angle AMD = {180^0}\) (2 góc kề bù)

Mà \(\angle ABD = \angle AMD\left( {cmt} \right)\)

Suy ra \(\angle NBD = \angle CMD\)

Xét \(\Delta BND\) và \(\Delta MCD\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle NBD = \angle CMD\left( {cmt} \right)\\BD = MD\left( {cmt} \right)\\\angle BDN = \angle MDC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta BND = \Delta MCD\left( {g.c.g} \right)\)

(2 góc đối đỉnh)

d) Xét \(\Delta ABM\) có \(AB = AM\left( {gt} \right)\) nên \(\Delta ABM\) cân tại \(A\).

Lại có \(AD\) là phân giác của \(\angle BAM\)

Suy ra \(AD\) là đường cao của \(\Delta ABM\)

\( \Rightarrow AD \bot BM\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vì \(\Delta BND = \Delta MCD\left( {cmt} \right) \Rightarrow NB = CM\) (2 cạnh tương ứng)

Lại có: \(B \in AN \Rightarrow AB + BN = AN\)

\(M \in AC \Rightarrow AM + MC = AC\)

Mà \(AB = AM;NB = CM\)

Suy ra \(AN = AC\)

Xét \(\Delta ANC\) có \(AN = AC\left( {cmt} \right)\) nên \(\Delta ANC\) cân tại \(A\).

Lại có \(AD\) là đường phân giác \(\angle NAC\)

Suy ra \(AD\) là đường cao của \(\Delta ANC\)

\( \Rightarrow AD \bot NC\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), suy ra \(BM//NC\) (quan hệ từ vuông góc đến song song) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link