Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\). Gọi \(D\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Trên

Câu hỏi số 515328:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\). Gọi \(D\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Trên tia đối của tia \(DA\) lấy điểm \(E\) sao cho \(DA = DE\). Kẻ \(BM\) vuông góc với \(AD\) tại \(M,CN\) vuông góc với \(DE\) tại \(N\).

a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta ECD\). Suy ra \(AB//CE\).

b) Chứng minh: \(BM//CN\) và \(BM = CN\).

c) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BD\) tại \(H,EK\) vuông góc với \(DC\) tại \(K\). Đoạn \(AH\) cắt \(BM\) tại \(O\), đoạn \(EK\) cắt \(CN\) tại \(I\). Chứng minh ba điểm \(O,D,I\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:515328

Phương pháp giải

a) Vận dụng kiến thức về hai tam giác bằng nhau: chứng minh \(\Delta ABD = \Delta ECD\left( {c.g.c} \right)\)\( \Rightarrow \angle BAD = \angle CED\)\( \Rightarrow AB//CE\)

b) Vận dụng quan hệ từ vuông góc đến song song chứng minh được \(BM//CN\).

Chứng minh \(\Delta MBD = \Delta NCD\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow BM = CN\)

c) Vận dụng quan hệ từ vuông góc đến song song chứng minh được \(AH//EK\)

Chứng minh \(\Delta AMO = \Delta ENI\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow OM = IN\)

Chứng minh \(\Delta OMD = \Delta IND\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle ODM = \angle IDN\)

Từ đó suy ra được \(\angle NDI + \angle ODN = {180^0}\).

Giải chi tiết

a) \(D\) là trung điểm của \(BC\) nên \(DB = DC\)

\(\angle ADB = \angle CDE\) (2 góc đối đỉnh)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ECD\) có:

\(\left. \begin{array}{l}AD = DE\left( {gt} \right)\\\angle ADB = \angle CDE\left( {cmt} \right)\\DB = DC\left( {gt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ECD\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle BAD = \angle CED\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\angle BAD\) và \(\angle CED\) ở vị trí so le trong nên \(AB//CE\) (đpcm).

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BM \bot AD\\CN \bot DE\end{array} \right.\) mà \(A,D,E\) thẳng hàng nên \(\left\{ \begin{array}{l}BM \bot AD\\CN \bot AD\end{array} \right.\) suy ra \(BM//CN\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow \angle MBD = \angle NCD\) (hai góc so le trong)

Xét \(\Delta MBD\) và \(\Delta NCD\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle MBD = \angle NCD\left( {cmt} \right)\\DB = DC\left( {gt} \right)\\\angle BDM = \angle CDN\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MBD = \Delta NCD\left( {g.c.g} \right)\)

\( \Rightarrow BM = CN\) (2 cạnh tương ứng)

c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\EK \bot BC\end{array} \right.\) nên \(AH//EK\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow \angle HAD = \angle KED\) (hai góc so le trong)

Vì \(\Delta MBD = \Delta NCD\left( {cmt} \right) \Rightarrow DM = DN\) (2 cạnh tương ứng)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD = AM + MD\\DE = NE + DN\end{array} \right.\) mà \(AD = DE\left( {gt} \right);DM = DN\left( {cmt} \right)\)

Suy ra \(AM = NE\)

Ta có: \(BM \bot AD\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AMB = \angle BMD = {90^0};\,CN \bot DE \Rightarrow \angle CNE = \angle CND = {90^0}\)

Xét \(\Delta AMO\) và \(\Delta ENI\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle OAM = \angle IEN\left( {cmt} \right)\\AM = NE\left( {cmt} \right)\\\angle OMA = \angle INE = {90^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AMO = \Delta ENI\left( {g.c.g} \right)\)

\( \Rightarrow OM = IN\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta OMD\) và \(\Delta IND\) có:

\(\left. \begin{array}{l}OM = IN\left( {cmt} \right)\\\angle OMD = \angle DNI = {90^0}\\BM = DN\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta OMD = \Delta IND\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle ODM = \angle IDN\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\angle MDO + \angle ODN = {180^0}\) (kề bù)

Nên \(\angle NDI + \angle ODN = {180^0}\) hay \(\angle ODI = {180^0}\)

Vậy \(O,D,I\) thẳng hàng (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link