Giải phương trình sau theo tham số \(m\) và \(a\):a) \(\frac{{x + 3}}{{x - 1}} = \frac{{x + m}}{{x + 1}}\)

Câu hỏi số 516212:

Vận dụng

Giải phương trình sau theo tham số \(m\) và \(a\):

a) \(\frac{{x + 3}}{{x - 1}} = \frac{{x + m}}{{x + 1}}\)

b) \(\frac{{ax - 1}}{{x - 1}} + \frac{2}{{x + 1}} = \frac{{a\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:516212

Phương pháp giải

+ Đặt điều kiện xác định.

+ Biến đổi phương trình về dạng \(ax + b = 0\).

+ Giải phương trình \(ax + b = 0\) chứa tham số.

+ Đối chiếu với điều kiện xác định.

Giải chi tiết

a) \(\frac{{x + 3}}{{x - 1}} = \frac{{x + m}}{{x + 1}}\) \(\left( 1 \right)\)

Điều kiện: \(x \ne \pm 1\)

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Rightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + m} \right)\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = {x^2} + \left( {m - 1} \right)x - m\\ \Leftrightarrow \left( {m - 5} \right)x = m + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Nghiệm của \(\left( 2 \right)\)thỏa mãn điều kiện sẽ là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\)

+ Với \(m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5\) thì \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 0.x = 8\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) vô nghiệm\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) vô nghiệm

+ Với \(m - 5 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 5\) thì \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow x = \frac{{m + 3}}{{m - 5}}\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{{m + 3}}{{m - 5}}\)

Khi \(\frac{{m + 3}}{{m - 5}} \ne 1 \Leftrightarrow m + 3 \ne m - 5 \Leftrightarrow 3 \ne - 5\) (luôn đúng)

Khi \(\frac{{m + 3}}{{m - 5}} \ne - 1 \Leftrightarrow m + 3 \ne - m + 5 \Leftrightarrow 2m \ne 2 \Leftrightarrow m \ne 1\)

Như vậy khi \(m \ne 5\)và \(m \ne 1\) thì phương trình có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{{m + 3}}{{m - 5}}\)

Khi \(m = 1\) ta có \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow - 4x = 4 \Leftrightarrow x = - 1\) (không thỏa mãn điều kiện)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) vô nghiệm

Kết luận:

+ Với \(m = 5\) hoặc \(m = 1\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.

+ Với \(m \ne 5\)và \(m \ne 1\) thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{{m + 3}}{{m - 5}}\).

b) \(\frac{{ax - 1}}{{x - 1}} + \frac{2}{{x + 1}} = \frac{{a\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Điều kiện: \(x \ne \pm 1\)

\(\left( 1 \right) \Rightarrow \left( {ax - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = a\left( {{x^2} + 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a{x^2} + ax - x - 1 + 2x - 2 = a{x^2} + a\\ \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)x = a + 3\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Nghiệm của \(\left( 2 \right)\)thỏa mãn điều kiện sẽ là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\)

+ Xét với \(a = - 1\) thì \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 0.x = - 1 + 3\)

\(\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 0.x = 2\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) vô nghiệm\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) vô nghiệm

+ Xét với \(a \ne - 1\) thì \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow x = \frac{{a + 3}}{{a + 1}}\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{{a + 3}}{{a + 1}}\)

Khi \(\frac{{a + 3}}{{a + 1}} \ne 1 \Leftrightarrow a + 3 \ne a + 1 \Leftrightarrow 3 \ne 1\) (luôn đúng)

Khi \(\frac{{a + 3}}{{a + 1}} \ne - 1 \Leftrightarrow a + 3 \ne - a - 1 \Leftrightarrow 2a \ne - 4 \Leftrightarrow a \ne - 2\)

Như vậy khi \(a \ne - 1\)và \(a \ne - 2\) thì phương trình có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{{a + 3}}{{a + 1}}\)

Khi \(a = - 2\) ta có \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow - x = 1 \Leftrightarrow x = - 1\) (không thỏa mãn điều kiện)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) vô nghiệm

Kết luận:

+ Với \(a = - 1\) hoặc \(a = - 2\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.

+ Với \(a \ne - 1\)và \(a \ne - 2\) thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{{a + 3}}{{a + 1}}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link