Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = AC\), gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\). Trên đoạn \(BH\) lấy điểm

Câu hỏi số 516284:

Vận dụng cao

Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = AC\), gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\). Trên đoạn \(BH\) lấy điểm \(D\), trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BD = CE.\)

a) Chứng minh: \(\Delta ABH = \Delta ACH\) và \(AH \bot BC.\)

b) Kẻ \(DM \bot BC\left( {M \in AB} \right),EN \bot BC\left( {N \in } \right.\) tia \(\left. {AC} \right)\). \(MN\) cắt \(BC\) tại \(I\). Chứng minh: \(DM = EN\) và \(IM = IN.\)

c) Đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với \(MN\) cắt tia \(AH\) tại \(O\). Chứng minh: \(OC \bot AN.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:516284

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta ABH = \Delta ACH\left( {c.c.c} \right)\)\( \Rightarrow \angle AHB = \angle AHC\) (2 góc tương ứng)

Từ \(\angle AHB + \angle AHC = {180^0}\) suy ra \(\angle AHB = \angle AHC = {90^0}\) nên \(AH \bot BC.\)

b) Chứng minh \(\Delta BDM = \Delta CEN\left( {g.c.g} \right)\)\( \Rightarrow DM = EN\,\) (2 cạnh tương ứng)

Chứng minh \(\Delta IMD = \Delta INE\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow IM = IN\) (2 cạnh tương ứng)

c) Chứng minh \(\Delta BOH = \Delta COH\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow BO = CO;\Delta MOI = \Delta NOI\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow OM = ON\) (2 cạnh tương ứng)

\(\Delta BOM = \Delta CON\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \angle OBM = \angle OCN\,\,\,\,\,\left( 1 \right);\Delta ABO = \Delta ACO\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \angle OBA = \angle OCA\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), suy ra \(\angle OCN = \angle OCA\)

Mà \(\angle OCN + \angle OCA = {180^0} \Rightarrow \angle OCN = \angle OCA = {90^0}\)

Suy ra \(OC \bot AN\) (đpcm)

Giải chi tiết

a) \(H\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow HB = HC\)

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\) có:

\(\left. \begin{array}{l}AB = AC\left( {gt} \right)\\AH\,chung\\HB = HC\left( {gt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ABH = \Delta ACH\left( {c.c.c} \right)\)

Vì \(\Delta ABH = \Delta ACH\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle AHB = \angle AHC\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\angle AHB + \angle AHC = {180^0}\)

Suy ra \(\angle AHB = \angle AHC = {90^0}\)

Vậy \(AH \bot BC.\)

b) *Chứng minh: \(DM = EN\)

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A \Rightarrow \angle ABC = \angle ACB\) (1)

Ta có: \(\angle ACB = \angle ECN\) (hai góc đối đỉnh) (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(\angle ABC = \angle ECN\) hay \(\angle MBD = \angle ECN\)

Xét \(\Delta BDM\) và \(\Delta CEN\) có:

\(\left. \begin{array}{l}BD = CE\left( {gt} \right)\\\angle BDM = \angle CEN = {90^0}\\\angle MBD = ECN\left( {cmt} \right)\end{array} \right\}\begin{array}{*{20}{c}}{ \Rightarrow \Delta BDM = \Delta CEN\left( {g.c.g} \right)}\\{ \Rightarrow DM = EN\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\)

(hai cạnh tương ứng)

*Chứng minh: \(IM = IN\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}DM \bot BC\\EN \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow DM//EN\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow \angle DMI = \angle ENI\) (hai góc ở vị trí so le trong)

Xét tam giác \(\Delta IMD\) và \(\Delta INE\) có:

\(\left. \begin{array}{l}DM = EN\left( {cmt} \right)\\\angle MDI = \angle NEI = {90^0}\\\angle IMD = \angle ENI\left( {cmt} \right)\end{array} \right\}\begin{array}{*{20}{c}}{ \Rightarrow \Delta IMD = \Delta INE\left( {g.c.g} \right)}\\{ \Rightarrow IM = IN\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\)

(hai cạnh tương ứng)

c) *Ta có: \(\angle AHC + \angle CHO = {180^0}\) mà \(\angle AHC = {90^0} \Rightarrow \angle CHO = {90^0}\). Tương tự, ta cũng có \(\angle BHO = {90^0}\) nên \(\angle CHO = \angle BHO = {90^0}\)

Xét \(\Delta BOH\) và \(\Delta COH\) có:

\(\left. \begin{array}{l}BH = HC\left( {gt} \right)\\\angle CHO = \angle BHO = {90^0}\\OH\,\,chung\end{array} \right\}\begin{array}{*{20}{c}}{ \Rightarrow \Delta BOH = \Delta COH\left( {c.g.c} \right)}\\{ \Rightarrow BO = CO\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\)

*Vì \(OI \bot MN \Rightarrow \angle MIO = \angle NIO = {90^0}\)

Xét \(\Delta MOI\) và \(\Delta NOI\) có:

\(\left. \begin{array}{l}MI = NI\left( {cmt} \right)\\\angle MIO = \angle NIO = {90^0}\left( {cmt} \right)\\OI\,\,chung\end{array} \right\}\begin{array}{*{20}{c}}{ \Rightarrow \Delta MOI = \Delta NOI\left( {c.g.c} \right)}\\{ \Rightarrow OM = ON\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\)

Xét \(\Delta BOM\) và \(\Delta CON\) có:

\(\left. \begin{array}{l}BO = CO\left( {cmt} \right)\\MO = NO\left( {cmt} \right)\\BM = CN\left( {\Delta BDM = \Delta CEN} \right)\end{array} \right\}\begin{array}{*{20}{c}}{ \Rightarrow \Delta BOM = \Delta CON\left( {c.c.c} \right)}\\{ \Rightarrow \angle OBM = \angle OCN\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\,}\end{array}\)

Xét \(\Delta ABO\) và \(\Delta ACO\) có:

\(\left. \begin{array}{l}AB = AC\left( {gt} \right)\\OA\,\,chung\\OB = OC\left( {\Delta BOM = \Delta CON} \right)\end{array} \right\}\begin{array}{*{20}{c}}{ \Rightarrow \Delta ABO = \Delta ACO\left( {c.c.c} \right)}\\{ \Rightarrow \angle OBA = \angle OCA\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\,}\end{array}\)

Từ (1) và (2), suy ra \(\angle OCN = \angle OCA\)

Mà \(\angle OCN + \angle OCA = {180^0} \Rightarrow \angle OCN = \angle OCA = {90^0}\)

Suy ra \(OC \bot AN\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link