Cho tam giác \(ABC\) có các góc \(\angle ABC,\,\,\angle ACB\) nhọn và \(\angle BAC = {60^0}.\) Các đường
Cho tam giác \(ABC\) có các góc \(\angle ABC,\,\,\angle ACB\) nhọn và \(\angle BAC = {60^0}.\) Các đường phân giác trong \(BE,\,\,CF\) của \(\Delta ABC\) cắt nhau tại \(I.\)
1) Chứng minh tứ giác \(AEIF\) nội tiếp.
2) Gọi \(K\) là giao điểm thứ hai \(\left( {K \ne B} \right)\) của đường thẳng \(BC\) với đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BFI.\) Chứng minh rằng \(\Delta AFK\) cân tại F.
Quảng cáo
1) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: tứ giác có tổng hai góc đối diện bẳng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.
2) Vận dụng tính chất của tứ giác nội tiếp, mối quan hệ của góc – đường tròn.
1) Ta có: \(\angle BAC = {60^0}\)
\( \Rightarrow \angle ABC + \angle BCA = {120^0}\) (tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2}\left( {\angle ABC + \angle BCA} \right) = {60^0}\\ \Leftrightarrow \angle {B_2} + \angle {C_2} = {60^0}\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle BIC = {180^0} - \left( {\angle {B_2} + {C_2}} \right) = {120^0}\) (tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}\))
\( \Rightarrow \angle FIE = \angle BIC = {120^0}\) (hai góc đối đỉnh)
Xét tứ giác \(AEIF\) ta có:
\(\angle BAC + \angle EIF = {60^0} + {120^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow AEIF\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng hai góc đối diện bẳng \({180^0}\))
2) Ta có: Tứ giác \(BFIK\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle FKB = \angle FIB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle FKB = \angle FIB = {180^0} - \angle EIB = {60^0}\\ \Rightarrow \angle FAC = \angle FKB = {60^0}\end{array}\)
\( \Rightarrow AFKC\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có hai đỉnh kề 1 cạnh nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau).
\( \Rightarrow \angle FAK = FCK\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(FK\))
Và \(\angle FKA = \angle FCA\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AF\))
Mà \(\angle FCA = \angle FCK\) (\(CF\) là phân giác góc \(\angle KCA\))
\( \Rightarrow \angle FAK = \angle FKA\,\,\left( { = \angle FCA} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta AKF\) cân tại \(F\) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
