Trong hệ trục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right),\) cho hai điểm \(A\left( { - 3;0;1} \right),\,\,B\left( {1; -

Câu hỏi số 517913:

Vận dụng cao

Trong hệ trục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right),\) cho hai điểm \(A\left( { - 3;0;1} \right),\,\,B\left( {1; - 1;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2z + 1 = 0.\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A\) song song với \(\left( P \right)\) và có khoảng cách đến \(B\) nhỏ nhất. Khi đó, khoảng cách từ \(B\) đến \(\Delta \) bằng

A. \(\dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

B. \(\dfrac{{4\sqrt 5 }}{5}\)

C. \(\dfrac{{6\sqrt 5 }}{5}\)

D. \(3\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:517913

Phương pháp giải

- Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(\Delta \): \({d_{\left( {B,\Delta } \right)}} = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {a;b;c} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta .\)

Vì đường thẳng \(\Delta \,{\rm{//}}\,\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \Rightarrow a - 2c = 0 \Leftrightarrow a = 2c \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2c;b;c} \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 1; - 1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {b - c; - 6c;4b + 2c} \right).\)

Khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(\Delta \) là:

\({d_{\left( {B,\Delta } \right)}} = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {b - c} \right)}^2} + 36{c^2} + {{\left( {4b + 2c} \right)}^2}} }}{{\sqrt {4{c^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \sqrt {\dfrac{{17{b^2} + 14bc + 41{c^2}}}{{{b^2} + 5{c^2}}}} .\)

Với \(c = 0,\) ta có: \({d_{\left( {B,\Delta } \right)}} = \sqrt {17} .\)

Với \(c \ne 0,\) ta có: \({d_{\left( {B,\Delta } \right)}} = \sqrt {\dfrac{{17{{\left( {\dfrac{b}{c}} \right)}^2} + 14\left( {\dfrac{b}{c}} \right) + 41}}{{{{\left( {\dfrac{b}{c}} \right)}^2} + 5}}} = \sqrt {\dfrac{{17{t^2} + 14t + 41}}{{{t^2} + 5}}} \) với \(t = \dfrac{b}{c}.\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = \dfrac{{17{t^2} + 14t + 41}}{{{t^2} + 5}};\,\,f'\left( t \right) = \dfrac{{ - 14{t^2} + 88t + 70}}{{{{\left( {{t^2} + 5} \right)}^2}}}.\)

Ta có: \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 7\\t = - \dfrac{5}{7}\end{array} \right..\)

Mà \(f\left( 7 \right) = 18;\,\,f\left( { - \dfrac{5}{7}} \right) = \dfrac{{36}}{5};\,\,\mathop {\lim }\limits_{t \to \pm \infty } f\left( t \right) = 17\) nên \(\min f\left( t \right) = f\left( { - \dfrac{5}{7}} \right) = \dfrac{{36}}{5}.\)

Do đó khoảng cách nhỏ nhất từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng \(\dfrac{{6\sqrt 5 }}{5}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.