Từ điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với

Câu hỏi số 519577:

Vận dụng

Từ điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(B,\,\,C\) là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp.

b) Từ \(A\) vẽ cát tuyến \(AEF\) đến đường tròn \(\left( O \right)\) (với \(AE < AF\)). Chứng minh \(A{C^2} = AE.AF\).

c) \(OA\) cắt \(BC\) tại \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(HB\), tia \(OM\) cắt \(AB\) tại \(K\). Đặt \(\angle AOB = \alpha \). Chứng minh \({\cos ^2}\alpha = \frac{{KB}}{{KA}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:519577

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(\Delta AEC \sim \Delta ACF\,\,\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow A{C^2} = AE.AF\)

c) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AH\).

Kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) cắt \(BN\) tại \(P\).

Chứng minh \(\Delta BAH \sim \Delta OBH\,\,\left( {g.g} \right)\) suy ra được \(\frac{{BA}}{{AN}} = \frac{{OB}}{{BM}}\)

Chứng minh \(\Delta BAN \sim \Delta OBM\,\,\left( {c.g.c} \right);\Delta BAP \sim \Delta OBK\,\,\left( {g.g} \right)\) suy ra được \(\frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AP.OB}}{{A{B^2}}}\)\( \Rightarrow \frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AN.O{B^2}}}{{NO.A{B^2}}}\)

Vận dụng hệ thức lương trong tam giác vuông

Giải chi tiết

a) Vì \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(A,\,\,B\) nên \(\angle OBA = \angle OCA = {90^0}\).

Xét tứ giác \(ABOC\) có: \(\angle ABO + \angle ACO = {180^0}\), suy ra tứ giác \(ABOC\) nội tiếp (dhnb).

b) Xét tam giác \(AEC\) và tam giác \(ACF\) có: \(\angle EAC = \angle FAC;\) \(\angle ACE = \angle CFA\) (góc nội tiếp và góc tạp bởi tiếp tuyến và dây cùng cùng chắn cung \(CE\)).

\( \Rightarrow \Delta AEC \sim \Delta ACF\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{FA}}\) (2 cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow A{C^2} = AE.AF\) (đpcm).

c) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AH\).

Kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) cắt \(BN\) tại \(P\).

Xét \(\Delta BAH\) và \(\Delta OBH\) có:

\(\angle BHA = \angle OHB = {90^0}\);

\(\angle ABH = \angle BOH\) (cùng phụ với \(\angle OBH\))

\( \Rightarrow \Delta BAH \sim \Delta OBH\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{BA}}{{AH}} = \frac{{OB}}{{BH}} \Rightarrow \frac{{BA}}{{2AN}} = \frac{{OB}}{{2BM}} \Rightarrow \frac{{BA}}{{AN}} = \frac{{OB}}{{BM}}\).

Xét \(\Delta BAN\) và \(\Delta OBM\) có: \(\frac{{BA}}{{AN}} = \frac{{OB}}{{BM}}\,\,\left( {cmt} \right)\), \(\angle BAN = \angle OBM\) (cùng phụ với \(\angle BOA\)).

\( \Rightarrow \Delta BAN \sim \Delta OBM\,\,\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \angle ABN = \angle BOM\) (2 cạnh tương ứng)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta BAP \sim \Delta OBK\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{OB}} = \frac{{AP}}{{BK}} \Rightarrow BK.AB = AP.OB \Rightarrow \frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AP.OB}}{{A{B^2}}}\end{array}\).

Vì \(AP//OB \Rightarrow \frac{{AP}}{{OB}} = \frac{{AN}}{{NO}}\) (định lí Ta-lét) \( \Rightarrow AP.OB = \frac{{AN}}{{NO}}.O{B^2}\)

\( \Rightarrow \frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AN.O{B^2}}}{{NO.A{B^2}}}\).

Lại có \(O{B^2} = OH.OA,\,\,A{B^2} = AH.AO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AN.OH}}{{NO.AH}} = \frac{{\frac{1}{2}AH.OH}}{{NO.AH}} = \frac{{OH}}{{2NO}}\).

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BK}} = \frac{{2NO}}{{OH}} \Rightarrow \frac{{AB - BK}}{{BK}} = \frac{{2NO - OH}}{{OH}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AK}}{{BK}} = \frac{{2\left( {NH + OH} \right) - OH}}{{OH}} = \frac{{2NH + OH}}{{OH}}\\ \Rightarrow \frac{{AK}}{{BK}} = \frac{{AH + OH}}{{OH}} = \frac{{AO}}{{OH}}\\ \Rightarrow \frac{{KB}}{{KA}} = \frac{{OH}}{{OA}}\end{array}\)

Lại có \(\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{OH.OA}}{{O{A^2}}} = \frac{{O{B^2}}}{{O{A^2}}} = {\cos ^2}\alpha \).

Vậy \(\frac{{KB}}{{KA}} = {\cos ^2}\alpha \) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link