Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số dương thỏa mãn \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le 2021\). Chứng

Câu hỏi số 520209:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số dương thỏa mãn \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le 2021\). Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{{\sqrt {7{x^2} - 2xy + 4{y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {7{y^2} - 2yz + 4{z^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {7{z^2} - 2zx + 4{x^2}} }} \le \frac{{2021}}{3}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:520209

Phương pháp giải

2) Tìm điều kiện xác định của biểu thức

Chứng minh \(\sqrt {7{x^2} - 2xy + 4{y^2}} \ge \left| {2x + y} \right| = 2x + y\,\,\forall x,\,\,y > 0\) và tương tự với các căn thức còn lại

Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy –Schwarz để chứng minh.

Giải chi tiết

2) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}7{x^2} - 2xy + 4{y^2} \ge 0\\7{y^2} - 2yz + 4{z^2} \ge 0\\7{z^2} - 2zx + 4{x^2} \ge 0\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}7{x^2} - 2xy + 4{y^2} - {\left( {2x + y} \right)^2} = 3{x^2} - 6xy + 3{y^2} = 3{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\\ \Rightarrow 7{x^2} - 2xy + 4{y^2} \ge {\left( {2x + y} \right)^2}\,\,\forall x,\,\,y\\ \Rightarrow \sqrt {7{x^2} - 2xy + 4{y^2}} \ge \left| {2x + y} \right| = 2x + y\,\,\forall x,\,\,y > 0\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {7{y^2} - 2yz + 4{z^2}} \ge 2y + z\\\sqrt {7{z^2} - 2zx + 4{x^2}} \ge 2z + x\end{array} \right.\)

Do đó \(\frac{1}{{\sqrt {7{x^2} - 2xy + 4{y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {7{y^2} - 2yz + 4{z^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {7{z^2} - 2zx + 4{x^2}} }} \le \frac{1}{{2x + y}} + \frac{1}{{2y + z}} + \frac{1}{{2z + x}}\).

Lại có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{9}{{2x + y}}\,\,\,\left( {BDT\,\,Cauchy - Schwarz} \right)\) \( \Rightarrow \frac{1}{{2x + y}} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{2}{x} + \frac{1}{y}} \right)\).

Tương tự ta có \(\frac{1}{{2y + z}} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{2}{y} + \frac{1}{z}} \right),\,\,\frac{1}{{2z + x}} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{2}{z} + \frac{1}{x}} \right)\)

Cộng vế theo vế ta có: \(\frac{1}{{2x + y}} + \frac{1}{{2y + z}} + \frac{1}{{2z + x}} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{3}{x} + \frac{3}{y} + \frac{3}{z}} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{z} + \frac{1}{z}} \right) \le \frac{{2021}}{3}\,\,\left( {dpcm} \right)\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = \frac{3}{{2021}}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link