Cho \({\log _2}5 = a\), \({\log _5}3 = b\), biết \({\log _{24}}15 = \dfrac{{ma + ab}}{{n + ab}}\), với \(m\), \(n\)

Câu hỏi số 521888:

Vận dụng

Cho \({\log _2}5 = a\), \({\log _5}3 = b\), biết \({\log _{24}}15 = \dfrac{{ma + ab}}{{n + ab}}\), với \(m\), \(n\) thuộc \(\mathbb{Z}\). Tính \(S = {m^2} + {n^2}\).

A. \(S = 2\).

B. \(S = 10\).

C. \(S = 5\).

D. \(S = 13\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:521888

Phương pháp giải

Áp dụng các công thức logarit :

+ \({\log _a}b = {\log _a}c.{\log _c}b\)

+ \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}\)

+ \({\log _c}(ab) = {\log _c}a + {\log _c}b\)

Giải chi tiết

Ta có: \({\log _3}2 = {\log _3}5.{\log _5}2 = \dfrac{1}{{{{\log }_2}5.{{\log }_5}3}} = \dfrac{1}{{ab}}\); \({\log _5}2 = \dfrac{1}{{{{\log }_2}5}} = \dfrac{1}{a}\)

Do đó: \({\log _{24}}15 = {\log _{24}}3 + {\log _{24}}5\)\( = \dfrac{1}{{{{\log }_3}24}} + \dfrac{1}{{{{\log }_5}24}}\)\( = \dfrac{1}{{1 + {{\log }_3}8}} + \dfrac{1}{{{{\log }_5}3 + {{\log }_5}8}}\)

\( = \dfrac{1}{{1 + 3{{\log }_3}2}} + \dfrac{1}{{{{\log }_5}3 + 3{{\log }_5}2}}\)\( = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{3}{{ab}}}} + \dfrac{1}{{b + \dfrac{3}{a}}} = \dfrac{{ab + a}}{{ab + 3}}\)

\( \Rightarrow m = 1,n = 3 \Rightarrow S = 10\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.