Cho tứ diện \(ABCD\) có \(CD = a\sqrt 2 \), \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(\Delta ACD\)

Câu hỏi số 521894:

Vận dụng cao

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(CD = a\sqrt 2 \), \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(\Delta ACD\) vuông tại \(A\). Mặt phẳng \((BCD)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABD)\). Thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) bằng

A. \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{6}\).

B. \(\dfrac{{4\pi {a^3}}}{3}\).

C. \(\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

D. \(4\pi {a^3}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:521894

Phương pháp giải

Xác định \(AH\)là trục của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD\)

Chứng minh tâm I của đường ngoại tiếp \(\Delta ABD\)nằm trên \(AH\)

Khối cầu bán kính \(r\)có thể tích \(V = \dfrac{{4\pi {r^3}}}{3}\)

Giải chi tiết

Gọi \(H\)là trung điểm BD \( \Rightarrow AH \bot BD\)

Xét \(\Delta AHC\)và \(\Delta AHD\)có:

\(\angle CHA = \angle AHD = {90^o}\)

\(AC = AD = a\)

\(AH\)chung

\( \Rightarrow \)\(\Delta AHC\) = \(\Delta AHD\)(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow HC = HD = HB = \dfrac{1}{2}BD \Rightarrow \Delta BCD\)vuông ở \(C\)

\( \Rightarrow BD = a\sqrt 3 \)và \(AH\)là trục của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD\)

\( \Rightarrow HC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Áp dụng định lý Pytago cho \(\Delta AHC\)vuông ở \(H\) ta có: \(AH = \dfrac{a}{2}\)

Ta có:\(AB = AD = a \Rightarrow \Delta ABD\)cân ở \(A\)

Gọi \(I\)là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABD\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = IB = ID\\I \in AH\end{array} \right. \Rightarrow IA = IB = IC = ID\)(do\(AH\)là trục của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD\))

Do đó \(I\)là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\), bán kính \(IA\), mà \(IA\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABD\)

\( \Rightarrow IA = \dfrac{{AB.AD.BD}}{{4{S_{\Delta ABD}}}} = a\)

Vậy \({V_{(I;IA)}} = \dfrac{4}{3}\pi I{A^3} = \dfrac{{4\pi {a^3}}}{3}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.