Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết hàm số \(g(x) = f\left(
Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết hàm số \(g(x) = f\left( {\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)} \right)\) có đồ thị như hình bên. Hàm số \(f\left( {\dfrac{x}{2}} \right)\) đồng biến trên
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Xác định nghiệm của \(f'(x) = 0\), từ đó tìm nghiệm của\(f'\left( {\dfrac{x}{2}} \right) = 0\), lập BBT xét sự đồng biến nghịch biến.
\(g'(x) = \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)'}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}}.f'\left( {\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)} \right)\)
\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)'}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}}.f'\left( {\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}}.f'\left( {\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)} \right) = 0\\ \Leftrightarrow f'\left( {\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)} \right) = 0\end{array}\)
Từ đồ thị ta có \(g'(x) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}g'( - 1) = 0\\g'(1) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( {\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right)} \right) = 0\\f'\left( {\ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right)} \right) = 0\end{array} \right.\)
Khi đó \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\\x = \ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\end{array} \right.\)
Ta có \(g'(0) = - 1.f'\left( {\ln \left( {\sqrt {0 + 1} - 0} \right)} \right) = - f'(0) < 0\)
\( \Rightarrow f'(0) > 0\)
Xét hàm số \(y = f\left( {\dfrac{x}{2}} \right);y' = \dfrac{1}{2}.f'\left( {\dfrac{x}{2}} \right)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow f'\left( {\dfrac{x}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{x}{2} = \ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\\\dfrac{x}{2} = \ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \ln \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\\x = \ln \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
\( \Rightarrow \)Hàm số \(y = f\left( {\dfrac{x}{2}} \right)\) đồng biến trên \(\left( {\ln \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right);\ln \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)} \right)\).
Mà \(\left( { - 1;1} \right) \subset \left( {\ln \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right);\ln \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)} \right)\) nên hàm số \(y = f\left( {\dfrac{x}{2}} \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
