Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Trên tia tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)

Câu hỏi số 521944:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Trên tia tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại\(A\), lấy điểm \(M\). Đường thẳng \(MB\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C.\)

1. Chứng minh tam giác \(ABC\) vuông và \(M{A^2} = MC.MB\).

2 Qua \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(OM\) tại \(I\), đường thẳng này cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(D\). Chứng minh bốn điểm \(M,C,I,A\) cùng thuộc một đường tròn.

3. Chứng minh \(MD\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) và góc \(MCD = \) góc \(MDB\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:521944

Phương pháp giải

1. *\(C\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\)\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(C\)

*Chứng minh \(\Delta ABM\) vuông tại \(A\) và \(AC \bot BM\), từ đó áp dung hệ thức lượng trong tam giác vuông có điều phải chứng minh.

2. Chứng minh: \(C\) thuộc đường tròn đường kính \(MA\) và \(I\) cũng thuộc đường tròn đường kính \(MA\)

Do đó, bốn điểm \(M,C,I,A\) cùng thuộc một đường tròn.

3. *Chứng minh \(\Delta AIO = \Delta DIO\left( {ch - cgv} \right) \Rightarrow \angle AOM = \angle DOM\)

\(\Delta MAO = \Delta MDO\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle MAO = \angle MDO\)

Từ dó, suy ra \(\angle MDO = {90^0}\) \( \Rightarrow MD \bot OD\) tại \(D\)

Do đó, \(MD\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

*Chứng minh \(\dfrac{{MD}}{{MC}} = \dfrac{{MB}}{{MD}}\)

Chứng minh

Giải chi tiết

1. *Ta có: \(C\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\)

\( \Rightarrow \angle ACB = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(C\)

*\(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) \( \Rightarrow AC \bot BC \Rightarrow AC \bot BM\)

\(AM\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow AM \bot AB \Rightarrow \angle BAM = {90^0}\) nên \(\Delta ABM\) vuông tại \(A\)

\(\Delta ABM\) vuông tại \(A\) có \(AC \bot BM\)

\( \Rightarrow A{M^2} = MC.MB\) (áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông)

2. Ta có: \(\angle ACB = {90^0} \Rightarrow \angle ACM = {90^0}\) (vì \(\angle ACB;\angle ACM\) là hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \Delta ACM\) vuông tại \(C\)

\( \Rightarrow C\) thuộc đường tròn đường kính \(MA\) (1)

\(AD \bot MO\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle MIA = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta AIM\) vuông tại \(I\)

\( \Rightarrow I\) thuộc đường tròn đường kính \(MA\) (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(C,I\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(MA\)

Do đó, bốn điểm \(M,C,I,A\) cùng thuộc một đường tròn.

3. *Xét \(\Delta AIO\) và \(\Delta DIO\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle AIO = \angle DIO = {90^0}\\IO\,\,chung\\AO = OD\left( { = R} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AIO = \Delta DIO\left( {ch - cgv} \right) \Rightarrow \angle AOM = \angle DOM\) (hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta MAO\) và \(\Delta MDO\) có:

\(\left. \begin{array}{l}MO\,\,chung\\AO = OD\left( { = R} \right)\\\angle AOM = \angle DOM\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MAO = \Delta MDO\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle MAO = \angle MDO\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\angle MAO = {90^0} \Rightarrow \angle MDO = {90^0}\)

\( \Rightarrow MD \bot OD\) tại \(D\)

Do đó, \(MD\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

*\(MA,MD\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) và \(MA,MD\) giao nhau tại \(M \Rightarrow MA = MD\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn)

Ta có: \(A{M^2} = MC.MB\) (cmt) \( \Rightarrow M{D^2} = MC.MB \Rightarrow \dfrac{{MD}}{{MC}} = \dfrac{{MB}}{{MD}}\)

Xét \(\Delta MCD\) và \(\Delta MDB\) có:

(hai góc tương ứng)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link