Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ

Câu hỏi số 521945:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = \sqrt {ab + c} + \sqrt {bc + a} + \sqrt {ca + b} \).

A. \({P_{\min }} = 1\) khi \(\left( {a;b;c} \right) = \left( {0;0;1} \right)\) và các hoán vị của chúng; \({P_{\max }} = 2\) khi \(a = b = c = \dfrac{1}{3}\)

B. \({P_{\min }} = 1\) khi \(\left( {a;b;c} \right) = \left( {0;0;1} \right)\) và các hoán vị của chúng; \({P_{\max }} = 2\) khi \(a = b = c = \dfrac{2}{3}\)

C. \({P_{\min }} = 1\) khi \(\left( {a;b;c} \right) = \left( {0;0;1} \right)\) và các hoán vị của chúng; \({P_{\max }} = 2\) khi \(a = b = c = \dfrac{1}{2}\)

D. \({P_{\min }} = 1\) khi \(\left( {a;b;c} \right) = \left( {0;0;1} \right)\) và các hoán vị của chúng; \({P_{\max }} = 2\) khi \(a = b = c = \dfrac{1}{4}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:521945

Phương pháp giải

Đánh giá từng biểu thức trong căn đưa ra kết luận.

Giải chi tiết

*Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\)

Ta có: \(\sqrt {ab + c} \ge \sqrt c ;\sqrt {bc + a} \ge \sqrt a ;\sqrt {ca + b} \ge \sqrt b \) (vì \(a,b,c\) là các số thực không âm)

\( \Rightarrow P = \sqrt {ab + c} + \sqrt {bc + a} + \sqrt {ca + b} \ge \sqrt c + \sqrt a + \sqrt b \)

Với \(a,b,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1\) nên \(0 \le a,b,c \le 1\)

Với \(0 \le a \le 1\) thì \(\sqrt a \ge a\)

Do đó, \(P \ge \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c \ge a + b + c = 1\)

Vậy \({P_{\min }} = 1\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}ab = bc = ca = 0\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {a;b;c} \right) = \left( {0;0;1} \right)\) và các hoán vị của chúng.

*Tìm giá trị lớn nhất của \(P\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,P = \sqrt {ab + c} + \sqrt {bc + a} + \sqrt {ca + b} \le \dfrac{3}{4}\left( {ab + c + \dfrac{4}{9} + bc + a + \dfrac{4}{9} + ca + b + \dfrac{4}{9}} \right)\\ \Rightarrow P \le \dfrac{3}{4}\left( {ab + bc + ca + \dfrac{7}{3}} \right)\\ \Rightarrow P \le \dfrac{3}{4}\left( {ab + bc + ca} \right) + \dfrac{7}{4}\\ \Rightarrow P \le \dfrac{3}{4}.\dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} + \dfrac{7}{4}\\ \Rightarrow P \le 2\end{array}\)

Vậy \({P_{\max }} = 2\). Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = \dfrac{1}{3}\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link