Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M,N\) thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(AC\), trên tia đối của tia

Câu hỏi số 522969:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M,N\) thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(AC\), trên tia đối của tia \(NM\)lấy điểm \(I\) sao cho \(NI = NM.\)

a) Chứng minh tam giác \(ANI\) bằng tam giác \(CNM\)

b) Chứng minh \(MC = AI\) và \(MC\) song song với \(AI\)

c) Chứng minh \(MN\) song song với \(BC\) và \(MN = \dfrac{1}{2}BC\)

d) Trên đoạn \(AI\) lấy điểm \(E\), trên đoạn \(MC\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AE = CF\). Chứng minh 3 điểm \(E,N,F\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:522969

Phương pháp giải

a) Chứng minh: \(\Delta ANI = \Delta CNM\left( {c.g.c} \right)\)

b) Từ chứng minh a) \(\Delta ANI = \Delta CNM\left( {cmt} \right)\) suy ra được hai cạnh tương ứng và hai góc tương ứng.

c) Vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác

d) Vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác, chứng minh \(\angle ENF = {180^0}\)\( \Rightarrow E,N,F\) thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\angle ANI = \angle MNC\) (hai góc đối đỉnh)

Xét \(\Delta ANI\) và \(\Delta CNM\) có:

\(\left. \begin{array}{l}MN = NI\left( {gt} \right)\\AN = NC\left( {gt} \right)\\\angle ANI = \angle MNC\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ANI = \Delta CNM\left( {c.g.c} \right)\)

b) Ta có: \(\Delta ANI = \Delta CNM\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow AI = MC\) (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, ta suy ra được: \(\angle ANI = \angle NCM\) (hai góc tương ứng) mà hai góc này ở vị trị so le trong, nên \(AI\)//\(MC\)

c) Ta có: \(\angle ANM = \angle CMI\) (hai góc đối đỉnh)

Xét \(\Delta ANM\) và \(\Delta CNI\) có:

\(\left. \begin{array}{l}AN = NC\left( {gt} \right)\\MN = NI\left( {gt} \right)\\\angle ANM = \angle CMI\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ANM = \Delta CNI\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle AMN = \angle CIN\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AM\)//\(CI\)\( \Rightarrow AB\)//\(CI\)

Ta có: \(\Delta ANM = \Delta CNI\left( {cmt} \right) \Rightarrow AM = CI\) (1)

\(M\) là trung điểm của \(AB\left( {gt} \right) \Rightarrow MA = MB\) (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(CI = MB\)

Vì \(AB\)//\(CI\left( {cmt} \right) \Rightarrow MB\)//\(CI \Rightarrow \angle BMC = \angle ICM\) (hai góc ở vị trí so le trong)

Xét \(\Delta BMC\) và \(\Delta ICM\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle BMC = \angle ICM\left( {cmt} \right)\\MB = CI\left( {cmt} \right)\\MC\,\,\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta BMC = \Delta ICM\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow MI = BC\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(MN = NI = \dfrac{{MI}}{2} \Rightarrow MN = \dfrac{{BC}}{2}\)

Vì \(\Delta BMC = \Delta ICM\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle IMC = \angle BCM\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(MI\)//\(BC \Rightarrow MN\)//\(BC\).

d) Vì \(AI\)//\(MC\left( {cmt} \right) \Rightarrow AE\)//\(EC \Rightarrow \angle NAF = \angle NCF\) (hai góc ở vị trí so le trong)

Xét \(\Delta NAE\) và \(\Delta NCF\)có:

\(\left. \begin{array}{l}NA = NC\left( {cmt} \right)\\\angle NAE = \angle NDF\left( {cmt} \right)\\AE = CF\left( {gt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta NAE = \Delta NCF\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle ANE = \angle FNC\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\angle ANE + \angle ENC = {180^0}\)

\( \Rightarrow \angle FNC + \angle ENC = \angle ENF = {180^0}\)

\( \Rightarrow E,N,F\) thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link