Cho các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\sqrt y \left( {y + 1} \right) - 6x - 9 = \left( {2x + 4}

Câu hỏi số 524788:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\sqrt y \left( {y + 1} \right) - 6x - 9 = \left( {2x + 4} \right)\sqrt {2x + 3} - 3y\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = xy + 3y - 4{x^2} - 3\).

A. \({M_{\max }} = \dfrac{{129}}{8}\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{9}{4};\dfrac{{15}}{2}} \right)\)

B. \({M_{\max }} = \dfrac{{129}}{4}\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{9}{4};\dfrac{{15}}{4}} \right)\)

C. \({M_{\max }} = \dfrac{{129}}{8}\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{9}{4};\dfrac{{15}}{4}} \right)\)

D. \({M_{\max }} = \dfrac{{129}}{4}\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{9}{4};\dfrac{{15}}{2}} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:524788

Phương pháp giải

Tìm điều kiện xác định của phương trình

Đặt \(2x + 3 = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta có phương trình mới chứa ẩn \(y\) và ẩn \(t\), biến đổi phương trình này về dạng tích, từ đó tìm được mối liên hệ của \(y\) và \(x\)

Thay vào biểu thức \(M\), biểu thức \(M\) chứa ẩn \(x\), vận dụng hằng đẳng thức tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức \(M\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\2x + 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\x \ge - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).

Đặt \(2x + 3 = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt y \left( {y + 1} \right) - 6x - 9 = \left( {2x + 4} \right)\sqrt {2x + 3} - 3y\\ \Leftrightarrow \sqrt y \left( {y + 1} \right) - 3\left( {2x + 3} \right) = \left( {2x + 4} \right)\sqrt {2x + 3} - 3y\\ \Rightarrow \sqrt y \left( {y + 1} \right) - 3t = \sqrt t \left( {t + 1} \right) - 3y\\ \Leftrightarrow \sqrt y \left( {y + 1} \right) - \sqrt t \left( {t + 1} \right) + 3y - 3t = 0\\ \Leftrightarrow y\sqrt y - t\sqrt t + \left( {\sqrt y - \sqrt t } \right) + 3\left( {y - t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt y - \sqrt t } \right)\left( {y + \sqrt {yt} + t} \right) + \left( {\sqrt y - \sqrt t } \right) + 3\left( {\sqrt y - \sqrt t } \right)\left( {\sqrt y + \sqrt t } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt y - \sqrt t } \right)\left( {y + \sqrt {yt} + t + 1 + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt y - \sqrt t } \right)\left( {y + \sqrt {yt} + t + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt y - \sqrt t = 0\,\,\left( {do\,\,y + \sqrt {yt} + t + 5 > 0\,\,\forall y,\,\,t \ge 0} \right)\\ \Leftrightarrow y = t \Leftrightarrow y = 2x + 3\end{array}\)

Khi đó biểu thức \(M\) trở thành:

\(\begin{array}{l}M = x\left( {2x + 3} \right) + 3\left( {2x + 3} \right) - 4{x^2} - 3\\M = 2{x^2} + 3x + 6x + 9 - 4{x^2} - 3\\M = - 2{x^2} + 9x + 6\\M = - 2\left( {{x^2} - \dfrac{9}{2}x} \right) + 6\\M = - 2\left( {{x^2} - 2.x.\dfrac{9}{4} + \dfrac{{81}}{{16}}} \right) + \dfrac{{81}}{8} + 6\\M = - 2{\left( {x - \dfrac{9}{4}} \right)^2} + \dfrac{{129}}{8}\end{array}\)

Vì \( - 2{\left( {x - \dfrac{9}{4}} \right)^2} \le 0\,\,\forall x\) nên \( - 2{\left( {x - \dfrac{9}{4}} \right)^2} + \dfrac{{129}}{8} \le \dfrac{{129}}{8}\).

Do đó \(M \le \dfrac{{129}}{8} \Rightarrow {M_{\max }} = \dfrac{{129}}{8}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{4}\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow y = \dfrac{{15}}{2}\).

Vậy GTLN của \(M\) bằng \(\dfrac{{129}}{8}\) đạt được khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{9}{4};\dfrac{{15}}{2}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link