Cho các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\sqrt y \left( {y + 1} \right) - 6x - 9 = \left( {2x + 4}

Câu hỏi số 524788:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\sqrt y \left( {y + 1} \right) - 6x - 9 = \left( {2x + 4} \right)\sqrt {2x + 3} - 3y\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = xy + 3y - 4{x^2} - 3\).

A. \({M_{\max }} = \dfrac{{129}}{8}\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{9}{4};\dfrac{{15}}{2}} \right)\)

B. \({M_{\max }} = \dfrac{{129}}{4}\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{9}{4};\dfrac{{15}}{4}} \right)\)

C. \({M_{\max }} = \dfrac{{129}}{8}\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{9}{4};\dfrac{{15}}{4}} \right)\)

D. \({M_{\max }} = \dfrac{{129}}{4}\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{9}{4};\dfrac{{15}}{2}} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:524788

Phương pháp giải

Tìm điều kiện xác định của phương trình

Đặt \(2x + 3 = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta có phương trình mới chứa ẩn \(y\) và ẩn \(t\), biến đổi phương trình này về dạng tích, từ đó tìm được mối liên hệ của \(y\) và \(x\)

Thay vào biểu thức \(M\), biểu thức \(M\) chứa ẩn \(x\), vận dụng hằng đẳng thức tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức \(M\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\2x + 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\x \ge - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).

Đặt \(2x + 3 = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt y \left( {y + 1} \right) - 6x - 9 = \left( {2x + 4} \right)\sqrt {2x + 3} - 3y\\ \Leftrightarrow \sqrt y \left( {y + 1} \right) - 3\left( {2x + 3} \right) = \left( {2x + 4} \right)\sqrt {2x + 3} - 3y\\ \Rightarrow \sqrt y \left( {y + 1} \right) - 3t = \sqrt t \left( {t + 1} \right) - 3y\\ \Leftrightarrow \sqrt y \left( {y + 1} \right) - \sqrt t \left( {t + 1} \right) + 3y - 3t = 0\\ \Leftrightarrow y\sqrt y - t\sqrt t + \left( {\sqrt y - \sqrt t } \right) + 3\left( {y - t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt y - \sqrt t } \right)\left( {y + \sqrt {yt} + t} \right) + \left( {\sqrt y - \sqrt t } \right) + 3\left( {\sqrt y - \sqrt t } \right)\left( {\sqrt y + \sqrt t } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt y - \sqrt t } \right)\left( {y + \sqrt {yt} + t + 1 + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt y - \sqrt t } \right)\left( {y + \sqrt {yt} + t + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt y - \sqrt t = 0\,\,\left( {do\,\,y + \sqrt {yt} + t + 5 > 0\,\,\forall y,\,\,t \ge 0} \right)\\ \Leftrightarrow y = t \Leftrightarrow y = 2x + 3\end{array}\)

Khi đó biểu thức \(M\) trở thành:

\(\begin{array}{l}M = x\left( {2x + 3} \right) + 3\left( {2x + 3} \right) - 4{x^2} - 3\\M = 2{x^2} + 3x + 6x + 9 - 4{x^2} - 3\\M = - 2{x^2} + 9x + 6\\M = - 2\left( {{x^2} - \dfrac{9}{2}x} \right) + 6\\M = - 2\left( {{x^2} - 2.x.\dfrac{9}{4} + \dfrac{{81}}{{16}}} \right) + \dfrac{{81}}{8} + 6\\M = - 2{\left( {x - \dfrac{9}{4}} \right)^2} + \dfrac{{129}}{8}\end{array}\)

Vì \( - 2{\left( {x - \dfrac{9}{4}} \right)^2} \le 0\,\,\forall x\) nên \( - 2{\left( {x - \dfrac{9}{4}} \right)^2} + \dfrac{{129}}{8} \le \dfrac{{129}}{8}\).

Do đó \(M \le \dfrac{{129}}{8} \Rightarrow {M_{\max }} = \dfrac{{129}}{8}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{4}\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow y = \dfrac{{15}}{2}\).

Vậy GTLN của \(M\) bằng \(\dfrac{{129}}{8}\) đạt được khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{9}{4};\dfrac{{15}}{2}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link