Cho tam giác \(ABC\) có \(\angle B,\angle C\) là góc nhọn và có diện tích không đổi. Tìm giá trị
Cho tam giác \(ABC\) có \(\angle B,\angle C\) là góc nhọn và có diện tích không đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2B{C^2} + A{C^2} + A{B^2}\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Kẻ đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\)
Áp dụng định lí Py – ta – go, tính được \(P = \left( {B{C^2} + A{H^2}} \right) + \left( {B{H^2} + C{H^2}} \right)\)
Áp dụng các bất đẳng thức, tìm được giá trị nhỏ nhất của \(P\).
Kẻ đường cao \(AH\). Vì \(\angle B,\,\,\angle C\) là các góc nhọn nên \(H\) thuộc đoạn thẳng \(BC\).
Áp dụng định lí Pytago ta có:
\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\\A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\end{array}\)
\( \Rightarrow P = 2B{C^2} + 2A{H^2} + B{H^2} + H{C^2}\).
Ta có \(B{C^2} + A{H^2} \ge 2BC.AH = 4{S_{\Delta ABC}}\).
\(B{H^2} + C{H^2} \ge \dfrac{{{{\left( {BH + CH} \right)}^2}}}{2} = \dfrac{{B{C^2}}}{2}\).
Do đó \(P \ge 8{S_{\Delta ABC}} + \dfrac{{B{C^2}}}{2}\).
Do \({S_{\Delta ABC}}\) không đổi, \(A,\,\,B,\,\,C\) cố định nên \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(8{S_{\Delta ABC}} + \dfrac{{B{C^2}}}{2}\).
Dấu “=” xảy ra khi \(BH = CH \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A\).
Đáp án cần chọn là: D
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
