. Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng \((A'B'C')\) là trung

Câu hỏi số 527139:

Vận dụng

. Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng \((A'B'C')\) là trung điểm \(M\) của \(B'C';\,A'M = \,a\sqrt 3 \), hình chiếu của điểm \(A\) lên mặt phẳng \((BCC'B')\) là \(H\) sao cho \(MH//\,\,BB';\,\,AH = a\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BB';\,CC'\) bằng \(2a\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho là

A. \(\,\dfrac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{2}\)

B. \({a^3}\sqrt 2 \)

C. \(\,\dfrac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

D. \(3{a^3}\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:527139

Phương pháp giải

Vì hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng \((A'B'C')\) là trung điểm \(M\) của \(B'C'\,\, \Rightarrow h = \,\,AM\)

Thể tích của khối lăng trụ là \(V = \,{S_{day}}.\,h\)

Giải chi tiết

Kéo dài \(MH\) cắt \(BC\) tại \(M'\).

Ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot \,\,AM}\\{BC \bot \,AH}\end{array}\,\, \Rightarrow BC \bot (AA'MM')} \right.\\ \Rightarrow BC \bot A'M;\,\,BC\,\, \bot MM'\end{array}\)

Lại có: \(AM \bot (A'B'C')\, \Rightarrow AM\, \bot (ABC) \Rightarrow AM \bot \,\,AM'\)

Suy ra: vuông tại \(A\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}}\,\, = \,\,\dfrac{1}{{A{M^2}}}\, + \,\,\dfrac{1}{{AM{'^2}}}\,\, \Rightarrow \dfrac{1}{{A{M^2}}} = \,\dfrac{1}{{A{H^2}}}\,\, - \,\,\dfrac{1}{{AM{'^2}}}\,\,\\ = \,\dfrac{1}{{{a^2}}} - \,\,\dfrac{1}{{3{a^2}}}\,\, = \,\,\dfrac{2}{{3{a^2}}}\, \Rightarrow AM\, = \,\dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\end{array}\)

Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BB'\,\,//\,\,MM'}\\{MM'\, \bot \,\,BC}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow BB'\, \bot \,\,BC\) nên tứ giác \(BB'C'C\) là hình chữ nhật.

Do đó; \(d(BB';\,\,CC') = \,\,B'C'\,\, = 2a\)

Vậy \(V\, = \,{S_{A'B'C'}}.\,AM\,\, = \,\dfrac{1}{2}.2a.a\sqrt 3 .\,\dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\,\, = \,\,\dfrac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{2}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.