Cho \(x,\,\,y,\,\,z > 0\); \(a,\,\,b,\,\,c > 1\) và \({a^x} = {b^y} = {c^z} = \sqrt {abc} \). Giá trị lớn

Câu hỏi số 527477:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,\,y,\,\,z > 0\); \(a,\,\,b,\,\,c > 1\) và \({a^x} = {b^y} = {c^z} = \sqrt {abc} \). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{16}}{x} + \dfrac{{16}}{y} - {z^2}\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( { - 10;10} \right)\)

B. \(\left( {10;15} \right)\)

C. \(\left( {15;25} \right)\)

D. \(\left( {\dfrac{{ - 11}}{2};\dfrac{{13}}{2}} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:527477

Phương pháp giải

Đặt: \({a^x} = {b^y} = {c^z} = \sqrt {abc} = t,\) rút \(x,\,\,y,\,\,z\) theo \(t\). Sau đó thay vào \(P\) để tìm giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Đặt: \({a^x} = {b^y} = {c^z} = \sqrt {abc} = t\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {\log _a}t\\y = {\log _b}t\\z = {\log _c}t\end{array} \right..\)

Khi đó: \(P = \dfrac{{16}}{{{{\log }_a}t}} + \dfrac{{16}}{{{{\log }_b}t}} - {z^2} = 16{\log _t}a + 16{\log _t}b - {z^2} = 16{\log _t}ab - {z^2} = 16{\log _t}\dfrac{{{t^2}}}{c} - {z^2}\)

\( = 32 - 16{\log _t}c - {z^2} = 32 - \dfrac{{16}}{{{{\log }_c}t}} - {z^2} = 32 - \dfrac{{16}}{z} - {z^2} = 32 - \left( {\dfrac{{16}}{z} + {z^2}} \right).\)

Ta có: \(\dfrac{{16}}{z} + {z^2} = \dfrac{8}{z} + \dfrac{8}{z} + {z^2} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{8}{z}.\dfrac{8}{z}.{z^2}}} = 12 \Rightarrow P \le 20 \in \left( {15;25} \right).\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.