Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2018;2019} \right]\) để đồ thị hàm số

Câu hỏi số 527478:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2018;2019} \right]\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3mx + 3\) và đường thẳng \(y = 3x + 1\) có duy nhất một điểm chung?

A. \(1\)

B. \(2019\)

C. \(4038\)

D. \(2018\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:527478

Phương pháp giải

Hai đồ thị hàm số có một điểm chung khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm duy nhất.

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3mx + 3\) và đường thẳng \(y = 3x + 1\) là:

\({x^3} - 3mx + 3 = 3x + 1 \Leftrightarrow {x^3} + 2 = 3x\left( {m + 1} \right).\)

Nếu \(m = - 1\) thì \({x^3} + 2 = 0 \Rightarrow \)Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3mx + 3\) và đường thẳng \(y = 3x + 1\) có một điểm chung

\( \Rightarrow m = - 1\) thỏa mãn.

Nếu \(m \ne - 1\) thì \(m + 1 = \dfrac{{{x^3} + 2}}{{3x}} \Rightarrow m = \dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{2}{{3x}} - 1.\)

Xét hàm số: \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{2}{{3x}} - 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{{3{x^2}}};\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty ;\,\,f\left( 1 \right) = 0.\)

Để phương trình \(m = \dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{2}{{3x}} - 1\) có nghiệm duy nhất thì đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{2}{{3x}} - 1\) tại một điểm \( \Leftrightarrow m < 0.\)

Kết hợp hai trường hợp, ta có: \(m < 0.\)

Mà \(m \in \left[ { - 2018;2019} \right]\) và \(m\) nguyên nên có 2018 giá trị \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.