Giải phương trình: z3 + (1 – 2i)z2 + (1 – i)z – 2i = 0. Biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Phương trình, Bất PT và hệ PT đại số

Câu hỏi số 5280:

Giải phương trình: z³ + (1 – 2i)z² + (1 – i)z – 2i = 0. Biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.

A. z = 6i

B. z = 4i

C. z = 3i

D. z = i

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5280

Giải chi tiết

Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z = bi, thay vào phương trình ta có

(bi)³ + (1 – 2i)(bi)² + (1 – i)(bi) – 2i = 0

⇔ (b - b²) + (-b³ + 2b² + b -2)i = 0 ⇔ $\left\{\begin{matrix} -b^{3}+2b^{2}+b-2=0\\b-b^{2}=0 \end{matrix}\right.$ => b = 1

=> Phương trình có nghiệm z = i

Ta có z³ + (1 – 2i)z²+ (1 – 2i)z – 2i = 0 ⇔ $\left\{\begin{matrix} z=i\\z^{2}+(1-i)z+2=0 \end{matrix}\right.$ (1)

Giải (1) ∆ = -2i - 8; Giả dử w = x + yi là căn bậc hai của ∆ .

Ta có (x + yi)² = -2i – 8 ⇔ $\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=-8\\2xy=-2 \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=-8(2)\\xy=-1(3) \end{matrix}\right.$

Thay vào (3) vào (2) ta có: (x + yi)² = -2i – 8 x² - = - 8 ⇔ x⁴ + 8x² -1 = 0

⇔ $\begin{bmatrix} x=\sqrt{\sqrt{17}-4}\\x=-\sqrt{\sqrt{17}-4} \end{bmatrix}$

Lấy x = $\sqrt{\sqrt{17}-4}$ => y = $\sqrt{\sqrt{17}+4}$

=> $\sqrt{\Delta }$ = $\sqrt{\sqrt{17}-4}$ - $\sqrt{\sqrt{17}+4}$ i

Vậy phương trình có nghiệm z = i hoặc z = $\frac{i-1+\sqrt{\Delta }}{2a}$ ;

z = $\frac{i-1-\sqrt{\Delta }}{2a}$ .

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.