Giải phương trình: (tanx + 7)tanx + (cotx + 7)cotx + 14 = 0.

Câu hỏi số 5282:

A. Phương trình có 4 họ nghiệm $\begin{bmatrix} x=\alpha +k\pi\\y=\beta +k\pi \\x=-\frac{\pi}{12} +k\pi \\ x=-\frac{7\pi}{12}+k\pi \end{bmatrix}$ ; với $\begin{bmatrix} tan\alpha =\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\\ tan\beta =\frac{-3+\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}; k\in \mathbb{Z}$

B. Phương trình có 4 họ nghiệm $\begin{bmatrix} x=\alpha +k\pi\\y=\beta +k\pi \\x=-\frac{\pi}{12} +k\pi \\ x=-\frac{7\pi}{12}+k\pi \end{bmatrix}$ ; với $\begin{bmatrix} tan\alpha =\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\\ tan\beta =\frac{-3+\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}; k\in \mathbb{Z}$

C. Phương trình có 4 họ nghiệm $\begin{bmatrix} x=\alpha +k\pi\\x=\beta +k\pi \\x=-\frac{\pi}{12} +k\pi \\ x=\frac{7\pi}{12}+k\pi \end{bmatrix}$ ; với $\begin{bmatrix} tan\alpha =\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\\ tan\beta =\frac{-3+\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}; k\in \mathbb{Z}$

D. Phương trình có 4 họ nghiệm $\begin{bmatrix} x=\alpha +k\pi\\y=\beta +k\pi \\x=-\frac{\pi}{6} +k\pi \\ x=-\frac{7\pi}{12}+k\pi \end{bmatrix}$ ; với $\begin{bmatrix} tan\alpha =\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\\ tan\beta =\frac{-3+\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}; k\in \mathbb{Z}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5282

Giải chi tiết

Điều kiện $\left\{\begin{matrix} sinx \neq 0\\cosx\neq 0. \end{matrix}\right.$ <=> sin2x ≠ 0 <=> x ≠ $\frac{k\pi}{2}$ ; k ∈ Z.

Biến đổi phương trình về dạng:

(tan²x + cot²x) + 7(tanx + cotx) + 14 = 0.

Đặt tanx + cotx = t, điều kiện |t| ≥ 2, suy ra tan²x + cot²x = t² – 2.

Khi đó phương trình có dạng:

t² – 2 + 7t + 14 = 0 <=> t² + 7t + 12 = 0 <=> $\begin{bmatrix} t=-3\\t=-4 \end{bmatrix}$

Với t = 3 ta được:

tanx + cotx = -3 <=> tanx + $\frac{1}{tanx}$ = -3 <=>tan²x + 3tanx + 1 = 0

<=> $\begin{bmatrix} tanx=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}=tan\alpha \\ tanx=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}=tan\beta \end{bmatrix}$ <=> $\begin{bmatrix} x=\alpha +k\pi\\ x=\beta +k\pi \end{bmatrix}$ ; k ∈ Z.

Với t = -4 ta được:

tanx + cotx = -4 <=> $\frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{sinx}=-4$

<=> $\frac{sin^{2}x+cos^{2}x}{sinx.cosx}=-4$

<=> sin2x= $-\frac{1}{2}$ <=> $\begin{bmatrix} 2x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ 2x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi \end{bmatrix}$

<=> $\begin{bmatrix} x=-\frac{\pi}{12}+k\pi\\ x=\frac{7\pi}{12}+k\pi \end{bmatrix}$ ; k ∈ Z.

Vậy phương trình có 4 họ nghiệm.

Nhận xét: Qua việc lựa chọn hai phương pháp giải để tìm ra nghiệm x khi biết t₀ các em hãy lựa chọn cho mình một phương pháp phù hợp.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.