Chứng minh các bất đẳng thức sau:a) \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\) với \(a,b >

Câu hỏi số 529238:

Vận dụng

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\) với \(a,b > 0.\)

b) \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{{a + b + c}}\) với \(a,b,c > 0.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:529238

Phương pháp giải

Để đơn giản hóa bài toán, ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, nhân \(a + b + c\) vào hai vế.

Giải chi tiết

a) \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{4}{{a + b}} = \dfrac{{b\left( {a + b} \right) + a\left( {a + b} \right) - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0\,\,\,\forall a,b > 0\), ta có điều phải chứng minh.

b) Ta sẽ chứng minh \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 9\).

\(\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) = \left( {\dfrac{a}{a} + \dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c}} \right) + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{b} + \dfrac{b}{c}} \right) + \left( {\dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{c}{c}} \right) = 3 + \left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right) + \left( {\dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b}} \right) + \left( {\dfrac{c}{a} + \dfrac{a}{c}} \right).\)

\(\begin{array}{l} = 9 + \left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - 2} \right) + \left( {\dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b} - 2} \right) + \left( {\dfrac{c}{a} + \dfrac{a}{c} - 2} \right)\\ = 9 + \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}} + \dfrac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{{bc}} + \dfrac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{{ca}} \ge 9\,\,\,\forall a,b,c > 0\\ \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 9\\ \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{{a + b + c}}\,\,\,\forall a,b,c > 0.\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link