Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x} \right)\,\forall x \in {\bf{R}}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\) có \(5\) điểm cực trị?
Câu 529313: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x} \right)\,\forall x \in {\bf{R}}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\) có \(5\) điểm cực trị?
A. \(17\)
B. \(18\)
C. \(15\)
D. \(16\)
Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\)
Tính \(g'\left( x \right)\) và xét phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).
Từ đó lập luận để hàm số \(g\left( x \right)\) có \(5\) điểm cực trị (chú ý: số nghiệm phân biệt của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) chính là số điểm cực trị).
-
Đáp án : C(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\)
Ta có: \(g'\left( x \right) = \left( {2x - 8} \right){\left( {{x^2} - 8x + m - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\left( {{x^2} - 8x + m - 2} \right)\)
\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\{\left( {{x^2} - 8x + m - 1} \right)^2} = 0\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 8x + m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x^2} - 8x + m - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
Các phương trình (1); (2); (3) không có nghiệm chung.
Ta có: \({\left( {{x^2} - 8x + m - 1} \right)^2} \ge 0\,\forall m \in \mathbb{R}\) nên để \(g\left( x \right)\) có \(5\) cực trị khi và chỉ khi \(\left( 2 \right);\,\left( 3 \right)\) có hai nghiệm phân biệt và khác \(4\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta {'_2} > 0\\\Delta {'_3} > 0\\{f_2}\left( 4 \right) \ne 0\\{f_3}\left( 4 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16 - m > 0\\16 - m - 2 > 0\\16 - 32 + m \ne 0\\16 - 32 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 16\\m < 18\\m \ne 16\\m \ne 18\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 16\)
Vì \(m\) nguyên dương và \(m < 16\) nên có \(15\) giá trị \(m\) thỏa mãn.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com