Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left(

Câu hỏi số 529313:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x} \right)\,\forall x \in {\bf{R}}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\) có \(5\) điểm cực trị?

A. \(17\)

B. \(18\)

C. \(15\)

D. \(16\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:529313

Phương pháp giải

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\)

Tính \(g'\left( x \right)\) và xét phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

Từ đó lập luận để hàm số \(g\left( x \right)\) có \(5\) điểm cực trị (chú ý: số nghiệm phân biệt của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) chính là số điểm cực trị).

Giải chi tiết

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = \left( {2x - 8} \right){\left( {{x^2} - 8x + m - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\left( {{x^2} - 8x + m - 2} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\{\left( {{x^2} - 8x + m - 1} \right)^2} = 0\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 8x + m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x^2} - 8x + m - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Các phương trình (1); (2); (3) không có nghiệm chung.

Ta có: \({\left( {{x^2} - 8x + m - 1} \right)^2} \ge 0\,\forall m \in \mathbb{R}\) nên để \(g\left( x \right)\) có \(5\) cực trị khi và chỉ khi \(\left( 2 \right);\,\left( 3 \right)\) có hai nghiệm phân biệt và khác \(4\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta {'_2} > 0\\\Delta {'_3} > 0\\{f_2}\left( 4 \right) \ne 0\\{f_3}\left( 4 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16 - m > 0\\16 - m - 2 > 0\\16 - 32 + m \ne 0\\16 - 32 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 16\\m < 18\\m \ne 16\\m \ne 18\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 16\)

Vì \(m\) nguyên dương và \(m < 16\) nên có \(15\) giá trị \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.